한일고	한일학습프로그램	창조적 사고, 적극적 행동	출제진도범위
	수 학	2004 신입생 선수 학습	수식의 연산

□ 수와 식의 연산

탐구학습

1

	학습의 포인트가 되는 교과서의 핵심을 정리,기본원리를 파악해 둡시다.

1. 실수의 집합과 연산

(1)수의 분류

양의 정수 (자연수)

정수    0

유리수         음의 정수

실수           분수 →소수  유한 소수

무한 소수 (순환 소수)

[eqn: LEFT { RIGHT]무리수 : 순환하지 않는 무한소수

(2) 실수의 집합과 사칙연산

수집합	＋	－	×	÷	수집합	＋	－	×	÷
실 수	○	○	○	○	정 수	○	○	○	×
유리수	○	○	○	○	자연수	○	×	○	×
무리수	×	×	×	×	0과 자연수	○	×	○	×

(○ : 닫혀 있다.  × : 닫혀있지 않다. 0으로 나누는 것 제외)

(3) 항등원과 역원

1) 덧셈에 대한 항등원은 [eqn: a+0=0+a=a]    에서 0이고, 곱셈에

대한 항등원은 [eqn: a×1=1×a=a]   에서 1이다.

2) [eqn: a]의 덧셈에 대한 역원은 -[eqn: a]이고, [eqn: a]의 곱셈에 대한

역원은 [eqn: { 1} over {a }] ([eqn: a]≠0) 이다.

(4) 실수의 대소 관계

두 실수 [eqn: a&,&b] 에 대하여

1) [eqn: a-b SUCC 0& <->& a SUCC b]

2) [eqn: a-b = 0& <->& a=b]

3) [eqn: a-b PREC 0& <->& a PREC b]

(5) 실수의 집합과 수직선

수직선은 유리수와 무리수에 대응하는 점들 전체로써 완전히

메워진다. 따라서 실수 전체의 집합과 수직선 위의 점 전체의

집합 사이에는 일대일대응이 이루어진다.

연산법칙	덧 셈	곱 셈
교환법칙	a +b	ab=ba
결합법칙	(a+b)+c=a+(b+c)	(ab)c=a(bc)
분배법칙	a(b+c)=ab+ac	(a+b)c=ac+bc

(6) 연산법칙

2. 식의 연산

(1) 다항식의 곱셈

1) 단항식과 다항식의 곱셈 : 다항식의 각 항에 단항식을 곱한

합으로 구한다.

2) 다항식과 다항식의 곱셈 : 한 쪽 식의 각 항을 다른 쪽 식의

각 항에 곱한 후 동류항을 간단히 한다.

3) 곱셈공식 (Ⅰ)

[eqn: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]

[eqn: (a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd]

4) 곱셈공식 (Ⅱ)

[eqn: (a+b)^2 =a^2 +2ab+b^2#(a-b)^2 =a^2 -2ab+b^2]

제 1회

5) 곱셈공식 (Ⅲ)

[eqn: (a+b)(a-b)=a^2 -b^2]

* 분모의 유리화에 이용

(예) [eqn: { 1} over { SQRT { 3} +1 } = { SQRT { 3}-1 } over {( SQRT { 3}+1)( SQRT { 3}-1) }= { SQRT { 3}-1 } over {( SQRT { 3})^2 -1^2 }= { SQRT { 3}-1 } over {2 }]

6) 곱셈공식 (Ⅳ)

[eqn: (x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x+ab]

신입생과제물- 1차 - 수학복습

7) 곱셈공식 (Ⅴ)

[eqn: (ax+b)(cx+d)=acx^2 +(ad+bc)x+bd]

◀ 꼭 암기합시다 ▶

* 예습 (어려운 곱셈공식 : 고등학교 교육과정)

♪[eqn: (a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca]

♪[eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3]

♪[eqn: (a-b)^3 =a^3 -3a^2 b+3ab^2 -b^3]

♪[eqn: (a+b)(a^2 -ab+b^2 )= a^3 +b^3]

♪[eqn: (a-b)(a^2 +ab+b^2 )= a^3 -b^3]

♪[eqn: (a^2 +ab+b^2 )(a^2 -ab+b^2 )=a^4 +a^2 b^2 +b^4]

♪[eqn: (x+a)(x+b)(x+c)=x^3 +(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca)x+abc]

(2) 인수분해

1) 인수분해 : 하나의 다항식을 2개 이상의 다항식의 곱의 꼴로

나타내는 것, 즉 전개의 역셈이다.

인수분해→

(예) [eqn: x^2 +3x+2=(x+1)(x+2)]

←전개

ⅰ) 먼저 공통인수가 있으면 공통인수로 묶는다.

ⅱ) 더 이상 인수분해할 수 없을 때까지 한다.

ⅲ) 각 식의 계수는 유리수의 범위로 하는 것이 원칙이다.

ⅳ) 여러 가지 문자나 복잡한 식은 같은 부분을 한 문자로

치환하는 것이 간편할 수 있다.

2) 인수분해 공식

ⅰ) 공통인수법

。[eqn: ax+ay-az=a(x+y-z)]

。[eqn: ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)]

。[eqn: a(x-y)-b(y-x)=a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y)]

ⅱ) 완전제곱꼴

。[eqn: a^2 +2ab+b^2 =(a+b)^2]       。[eqn: a^2 -2ab+b^2 =(a-b)^2]

。[eqn: a^2 +2+ { 1} over {a^2 }=(a+ { 1} over {a })^2]     。[eqn: a^2 -2+ { 1} over {a^2 }=(a- { 1} over {a })^2]

ⅲ) 제곱의 차

。[eqn: a^2 -b^2 =(a+b)(a-b)]

。[eqn: a^4 -b^4 =(a^2 -b^2 )(a^2 +b^2 )=(a-b)(a+b)(a^2 +b^2 )]

ⅳ) 이차삼항식의 인수분해

。[eqn: x^2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

。[eqn: acx^2 +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)]

◀ 꼭 암기합시다 ▶

*예습 (어려운 인수분해 ; 고등학교과정)

。[eqn: a^3 +b^3 =(a+b)(a^2 -ab+b^2 )]

。[eqn: a^3 -b^3 =(a-b)(a^2 +ab+b^2 )]

。[eqn: a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 =(a+b)^3]

。[eqn: a^3 -3a^2 b+3ab^2 -b^3 =(a-b)^3]

。[eqn: a^4 +a^2 b^2 +b^4 =(a^2 +ab+b^2 )(a^2 -ab+b^2 )]

。[eqn: a^3 +b^3 +c^3 -3abc =(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)]

신입생과제물-1차-수학복습

신입생과제물- 1차 - 수학복습

	학습진전 상황을 주기적으로 점검 확인하고 결함부분을 치료함으로써학습성과를 높이도록 합시다.

2

보충학습학습

▣ 다음 설명 중 □ 속에 알맞는 것을 넣으시오.(1-8번)

1. 다음 그림에서 전체의 넓이는 A, B, C, D의 넓이의 합과

같으므로 [eqn: (a+b)·(a-b)]

[eqn: =&(a+b)^2]   ········㉮

또,[eqn: A+B+C+D]

[eqn: =a^2 +ab+ab+b^2]

[eqn: =a^2 +2ab+ b^2]    ·······㉯

에서 ㉮ 와 ㉯는 같으므로

[eqn: (a+b)^2 =a^2 +2ab+ b^2]

또, [eqn: (a-b)^2 =[a+(-b)]^2 =a^2 +2a(-b)+(-b)^2]

=[eqn: { a}^{2 } +①□+ { b}^{2 }]

2. 인수분해 공식을 사용하기 힘든 이차식은 근과 계수와의 관계를

사용하거나 근의 공식을 사용하여 인수분해할 수 있다. [고교과정]

⑴  [eqn: ax^2 +bx+c=a(x^2 + { b} over {a }x+ { c} over {a })=a[x^2 -(- { b} over {a })x+ { c} over {a }]]          에서

[eqn: ax^2 +bx +c=0]    의 두 근을 α, β라 하면                              [eqn: ax^2 +bx+c=a(x-α)(x-β)=a[x^2 -(α-β)x+αβ]]                   [eqn: ∴&a[x^2 -(- { b} over {a })x+ { c} over {a }]]   [eqn: =a[x^2 -(α-β)x+αβ]]                      따라서, α+β=[eqn: - { b} over {a }]  ,     αβ=[eqn: { c} over {a }]

⑵ [eqn: ax^2 +bx +c=0]   을 근의 공식에 의해 풀면

[eqn: x= { -b± SQRT { b^2 -4ac} } over {2a }]   에서 두 근을 α, β라 하면

α+β=[eqn: { -b+ SQRT { b^2 -4ac} } over {2a }]   +[eqn: { -b- SQRT { b^2 -4ac} } over {2a }]  [eqn: ={ -2b} over {2a }=- { b} over {a }]

αβ=[eqn: { -b+ SQRT { b^2 -4ac} } over {2a }]   ×[eqn: { -b- SQRT { b^2 -4ac} } over {2a }]

= [eqn: ( { -b} over {2a })^2 -( { SQRT { b^2 -4ac} } over {2a })^2 = { b^2} over {4a^2 }- { b^2 -4ac} over {4a^2 }= { 4ac} over {4a^2 }= { c} over {a }]

종합하면, 인수분해하기 힘든 이차식 [eqn: ax^2 +bx +c]   는

[eqn: ax^2 +bx +c=0]   의 두 근 α, β를 구하여

[eqn: ax^2 +bx +c=]   ② □와 같이 인수분해 한다.

3. 203×197=(200+3)(200-3)=③□- 9 는

공식 [eqn: (a+b)(a-b)=④□] 을 이용한 것이다.

[eqn: (a+b-7)(a+b-4)= { (a+b)}^{2 } -(7+4)(a+b)+28]

[eqn: { a}^{2 } +2ab+ { b}^{ 2} -11a-11b+28]

은 공식⑤ □=[eqn: x^2 -(a+b)x+ab] 를  이용한 것이다.

4.  [eqn: a+0=0+a=a] 에서 덧셈에 대한 항등원은 ⑥ □ 이고

[eqn: a+⑦□=⑦□+a] =0에서 a의 덧셈에 대한 역원은⑧□임을 알 수      있다.

5. [eqn: a TIMES 1=1 TIMES a=a] 에서 곱셈에 대한 항등원은⑨ □ 이고

[eqn: a×⑩□ = ⑩□×a=1]에서 [eqn: a] 의 곱셈에 대한 역원은⑪ □임을

알 수 있다.

6. 다음의 계산에서 이용된 연산 법칙은?

[eqn: (2 SQRT { 3}+4)+(4 SQRT { 3}+1)]

⑫ □□법칙

=[eqn: 2 SQRT { 3}+[4+(4 SQRT { 3}+1)]]

⑬□□법칙

=[eqn: 2 SQRT { 3}+[(4 SQRT { 3}+1)+4]]

⑭□□법칙

=[eqn: 2 SQRT { 3}+[4 SQRT { 3}+(1+4)]]

⑮□□법칙

=[eqn: (2 SQRT { 3}+4 SQRT { 3})+(1+4)]

⑯□□법칙

=[eqn: (2+4) SQRT { 3}+(1+4)]

=[eqn: 6 SQRT { 3}+5]

7.서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있고 서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다. 수직선은 유리수와 무리수를 합한 점들 전체의 집합, 즉⑰□□전체의 집합과 ⑱□□□□□이 이루어진다.

8. [eqn: { c} over { SQRT { a} + SQRT { b} }]의 분모를 유리화하려면 분모, 분자에  ⑲□를 각각 곱하여 분모의 무리수를 유리수로 고쳐야 한다.

☆   휴게실  ( 9의 성질 )   ☆

옛 로마인들은 짝수인 2를 여성, 홀수인 3을 남성으로 상징하고 6은

2×3에서 남, 여가 결합한 ‘사랑의 수’로 생각하였다.

유태인들은 신이 6일 동안에 세상을 창조하여 6을 ‘완전수’ 라하고

이는 ‘자신을 뺀 약수들의 합과 같아지는 수’ 라 하였다.

즉, 6의 약수 1,2,3,6에서 6을 뺀 1+2+3=6을 뜻하였다.

최초의 완전 수 6이외에도 28, 496, 8128,······등 여러 개가 발견되었다.

그에 비해 9라는 숫자는 유태인에게 힘을 뜻하고, 그리이스인에게는

완성을 뜻하는 마지막 숫자로 여러 가지 성질을 가지고 있다.

1) 임의의 수에 대하여, 그것의 자리수를 거꾸로 하여 큰 수에서

작은 수를 빼면 나머지는 항상 9로 나누어진다.

(예)     891                        5403

- 198    693÷9= 77        - 3045       2358 ÷ 9= 262

693                        2358

2) 임의의 수에 대하여, 그수를 9로 나눈 나머지는 그 수의 각

자리의 숫자를 합하여 9로 나눈 나머지와 같다.

(예) 31765 ÷ 9는 몫이 3529 이고 나머지는 4 이다.

3+1+7+6+5= 22에서 22÷9는 몫이 2이고 나머지는 4이다.

554148÷9는 몫이 61572이고 나머지는 0이다.

5+5+4+1+4+8=27에서 27÷9는 몫이 3이고 나머지는 0이다.

3) 9의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이면

그 수는 9의 배수이다. (중1 과정)

◆ 정 답 ◆

①[eqn: -2ab]       ②[eqn: a(x-α)(x-β)]     ③ 40000     ④ [eqn: a^2 -b^2]

⑤[eqn: (x-a)(x-b)]       ⑥ 0       ⑦ -[eqn: a]        ⑧  -[eqn: a]

⑨ 1        ⑩ [eqn: { 1} over {a }]         ⑪ [eqn: { 1} over {a }]           ⑫  결합

⑬ 교환     ⑭ 결합          ⑮ 결합     ⑯  배분

⑰ 실수      ⑱ 일대일대응    ⑲ [eqn: SQRT { a}& -&SQRT { b}]

	필수 학습 목표를 기준으로 작성된 문제들로 각종 시험에 대비하여 실전 능력을 배양해 둡시다.

심화학습

3

※ 다음 각 물음에 답하시오.

9. 실수의 집합에서 [eqn: 2- SQRT { 3}] 의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한

역원을 합하면?

10. [eqn: (3+ SQRT { 2})(2-3 `^{ } SQRT {2 })] 를 전개하여 [eqn: a+b SQRT { 2}]  의 꼴로 나타낼 때,

[eqn: a+b]  의 값은?

11. 다음 그림을 이용하여 어떤 전개 공식

을 설명하고자 한다. 다음 식 중에서 어떤

것을 설명하기 위한 것인가?

①[eqn: (a+b)^2]        ②[eqn: (a+b)(a-b)]

③[eqn: (a-b)^2]        ④[eqn: a(a+b)+a(a-b)]

⑤ [eqn: a^2 +b^2]

12. [eqn: { 1} over { SQRT { 3}+ SQRT { 2} }]의 분모를 유리화하면?

13. [eqn: ( { 1} over {2 }x- { 1} over {2 } y)^2]을 전개하였더니 [eqn: Ax^2 +Bxy +Cy^2]이 되었다.

이 때, [eqn: A+C] 의 값은?

14. [eqn: a=-x+y-1,&b=x-y-1]일 때, [eqn: ab-a-b]를 계산한 것은?

① [eqn: x^2 -2xy+y^2 +3]             ② [eqn: x^2 -2xy+y^2 +1]

③ [eqn: -x^2 +2xy-y^2 +3]            ④ [eqn: -x^2 +2xy-y^2 -1]

⑤ [eqn: x^2 +2y-3]

15. [eqn: (2x+y-4)(3x+2y-1)] 을 전개한 식에서 [eqn: xy]의 계수와 [eqn: x] 의

계수를 합한 것은 ?

s

16. [eqn: x= { 1} over { SQRT { 6}+ SQRT { 2} }], [eqn: y= { 2+ SQRT { 3} } over { SQRT { 6}+ SQRT { 2} }] 일 때, [eqn: x^2 +y^2] 의 값은?

17. [eqn: x=a+3,&y=a-3일&때,&x^2 -y^2] 의 값은?

18. 다음 중 옳은 것은?

① 서로 다른 두 무리수 사이에는 유한 개의 무리수가 있다.

② [eqn: SQRT { 2}] 와 [eqn: SQRT { 5}] 사이에 있는 무리수는 [eqn: SQRT { 3}] 하나 뿐이다.

③ 유리수 [eqn: a] 에 가장 가까운 유리수는 항상 존재한다.

④ 서로 다른 두 유리수 사이에는 무한개의 유리수가 있다.

⑤ 수직선상에서 유리수는 연속이다.

19. 어떤 집합 [eqn: A]는 덧셈에 대하여 닫혀있고 덧셈에 대한 모든

원소의 역원이 있으면 집합 [eqn: A]는 사칙연산 중 적어도 몇 가지

연산에 대하여 닫혀 있다고 할 수 있겠는가?

20.  다음 집합 중 덧셈에 대한 항등원이 있는 집합은?

① [eqn: A=[x｜x는 &자연수]]

② [eqn: B=[x｜x=2n-1,&n은&자연수]]

③ [eqn: C=[x｜x=2n+1,&n은&정수]]

④ [eqn: D=[x｜x=n-1,&n은&정수]]

⑤ [eqn: E=[10이하의&자연수]]

21.   [eqn: (a+b)^3 =a^3 +b^3 +3ab(a+b)]

위의 공식을 이용하여 [eqn: a+b=5,&ab=3] 일 때, [eqn: a^3 +b^3]의 값을

구하면?

22. [eqn: (x+2y+2)(2x-my+3)] 을 전개하였을 때, 상수항과 [eqn: xy]의

계수가 같도록 상수 [eqn: m]의 값을 정하시오.

23. [eqn: x+y=4,&xy=3] 일 때, [eqn: (x-y)^2] 의 값은?

24. [eqn: x= { SQRT { 2}+1 } over { SQRT { 2}-1 },&y= { SQRT { 2}-1 } over { SQRT { 2}+1 }] 일 때, [eqn: x^2 +y^2] 의 값을 구하시오.

25. 두 개의 정사각형의 한 변의 길이가 각각 [eqn: a,b] 일 때,

[eqn: a+b=11] 이고 두 정사각형의 넓이의 차가 33이면

[eqn: LEFT | a-b RIGHT |] 의 값은?

26. 다음 [eqn: (a-2)(a+1)+(a+1)(a-1)]을 인수분해 하시오.

27. 다음 중 유리수의 범위에서 두 일차식의 곱으로 인수분해가

되는 것은?

① [eqn: x^2 -5]             ② [eqn: x^2 +2x+2]

③ [eqn: 2x^2 -4]            ④ [eqn: 2x^2 - { 1} over {2 }]

⑤ [eqn: x^2 +1]

28. 어떤 수를 0으로 나눌 수 없는 이유를 바르게 설명한 것은?

①  0은 덧셈에 대한 항등원이므로

②  0의 덧셈에 대한 역원이 없으므로

③  0의 곱셈에 대한 역원이 없으므로

④  0은 곱셈에 대한 항등원이므로

⑤  0의 곱셈에 대한 항등원이 0이므로

29. 집합 [eqn: LEFT { x｜x=a+b SQRT { 2},&a,&b는 &유리수 RIGHT }]에 대한 설명이 옳은

것은?

① 덧셈과 곱셈에 대해서만 닫혀 있다.

② 덧셈과 뺄셈에 대해서만 닫혀 있다.

③ 사칙연산 (단, 0으로 나누는 것은 제외) 에 대하여 닫혀 있다       ④ 유리수의 집합을 포함하고 무리수의 집합에 포함된다.

⑤ 모든 실수를 표현할 수 있다.

30. 두 상수 [eqn: a,&b가&x^2 +x+1=(x-1)^2 +a(x-1)+b]를

만족할 때, [eqn: a^2 +b^2]  의 값은?

31. [eqn: (a^2 +1)^2 -4a^2] 을 인수분해 하였더니 [eqn: (A)^2 (B)^2]의 형태가

되었다.  이 때, [eqn: A+B]  의 값을 구하시오.

32. [eqn: x-y=2&일&때,&4xy-2x^2 -2y^2] 의 값을 구하면?

33.  다음 식에서 인수분해가 바르게 된 것은 ?

① [eqn: x(y-1)-y+1=(x+1)(y-1)]

② [eqn: (x+a)^2 -x-a=(x+a)(x+a-1)]

③ [eqn: xy-x+y-1=(x-1)(y+1)]

④ [eqn: a^2 -ab-2a+b+1=(a-1)(a+b-1)]

⑤ [eqn: 16x^2 +4x^2 y^2 +y^4 =(4x^2 +2xy+y^2 )^2]

34. 다음 중 계산을 한 결과가 유리수인 것은?

① [eqn: (1+ SQRT { 2})+(3+ SQRT { 2})]

② [eqn: (1+ SQRT { 2})-(3- SQRT { 2})]

③ [eqn: (1+ SQRT { 2})(3+ SQRT { 2})]

④ [eqn: (1+ SQRT { 2})(1- SQRT { 2})]

⑤ [eqn: (1- SQRT { 2})^2]

35. 정수 계수를 가진 [eqn: x^2 +ax+24&는&a]의 값에 따라 여러 가지로

인수분해가 된다. 이 때, [eqn: a] 의 최대값은?

36. [eqn: x^2 +xy-2x-y+1]을 인수분해하면?

37. [eqn: (x+4)^2 -(x+4)-12]를 인수분해하면?

38. [eqn: x+y=a,&x-y=b&일 때,&x^2 -y^2 -2x+1&을&a,b]로 나타내면?

39. 두 유리수 [eqn: a,&b] 에 대하여 [eqn: a+b<0,&ab>0] 일 때,

[eqn: a,&b] 는 어떤 수인가?

40. [eqn: a는 &양수,&b는] 음수일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

①  [eqn: a+b>0]               ②  [eqn: a-b>0]

③  [eqn: b-a>0]               ④  [eqn: ab>0]

⑤  [eqn: LEFT | a RIGHT | >= LEFT | b RIGHT |]

<고교 입문 문제>

41. [eqn: a-b=9,&ab=-14&일&때,]다음 공식을 이용하여 [eqn: a^3 -b^3] 의 값      을 구하시오.

[eqn: (a-b)^3 =a^3 -3a^2 b+3ab^2 -b^3]

42. 다음 공식을 이용하여 [eqn: x^3 +8y^3] 을 인수분해하시오.

[eqn: (a+b)(a^2 -ab+b^2 )=a^3 +b^3]

43. 다음 공식을 이용하여 [eqn: a+b+c=0,&a^2 +b^2 +c^2 =14&일&때,]

[eqn: ab+bc+ca] 의 값을 구하면?

[eqn: (a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca]

44.  다음 공식을 이용하여 [eqn: a+b+c=0,&abc=-6] 일 때,

[eqn: a^3 +b^3 +c^3] 의 값을 구하면?

[eqn: a^3 +b^3 +c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)]

45.  [eqn: x^2 +3xy+2y^2 +x+3y-2] 를 인수분해하면?

풀이과정(제가 이 문제 푸는데 1시간 넘게 걸려서 혹시 저 같은 경우            라면 도움이 될까 해서 올렸습니다.  ^^)

차수가 낮은 문자를 내림차순으로 정리!!

x2+(3y+1)x+2y2+3y-2

= x2+(3y+1)x+(2y-1)(y+2)   2y-1+y+2=3y+1이므로

= (x+2y-1)(x+y+2)

46. 양의 실수 [eqn: a] 에 대하여 [eqn: x^2 +ax+12]가 실수 범위내에서

두 일차식의 곱으로 인수분해 될 때, [eqn: a] 의 최소값을 구하시오.

제 2회

탐구학습

1

한일고	한일학습프로그램	창조적 사고, 적극적 행동	출제진도범위
	수 학	2004 신입생 선수 학습	이차 방정식과 이차함수

	학습의 포인트가 되는 교과서의 핵심을 정리,기본원리를 파악해 둡시다.

□ 이차방정식과 이차함수

1. 이차방정식 ([eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0,a≠0])

(1)이차방정식의 풀이

1) [eqn: ab=0]의 의미

[eqn: a=0] 또는 [eqn: b=0] 일 때, [eqn: ab=0] 이고, [eqn: ab=0]이면 [eqn: a=0]

또는 [eqn: b=0] 이다.

2) 인수분해에 의한 방법

[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)] 이 [eqn: a(x-m)(x-n)=0] 으로 인수분해

되면 [eqn: x-m=0] 또는 [eqn: x-n=0] 이 되므로 [eqn: x=m] 또는 [eqn: x=n]

∴ 근은 {[eqn: m, n]} 이 된다.

3) 완전 제곱식에 의한 방법

[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)] 을 [eqn: a]로 나누어 [eqn: { x}^{2 }+px+q=0]

으로 한 다음 완전 제곱식 [eqn: { (x-m)}^{2 }=n(n≥0)]으로 고치면

[eqn: x-m=± SQRT { n}] 이 되므로 [eqn: x=m± SQRT { n}] 이 근이 된다.

4) 근의 공식에 의한 방법

○[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)] 의근은

[eqn: x= { -b± SQRT { { b}^{ 2}-4ac }} over {2a }]가 된다.(단, [eqn: { b}^{2 } -4ac≥0])

○[eqn: a { x}^{2 }+2 { b}^{' }x+c=0(a≠0)]과 같이 [eqn: x]의 일차항의 계수가 짝수일     경우 근의 공식은 [eqn: x= { - { b}^{' }± SQRT { { b}^{'2 }-ac } } over {a }] 가 된다.

(2) 이차방정식의 근과 계수와의 관계

[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)] 의 두 근을 α,β(α>β)라 하면

[eqn: x= { -b± SQRT { { b}^{ 2}-4ac }} over {2a }] 에서

α=[eqn: { -b+ SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over {2a }], β=[eqn: { -b- SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over {2a }] 라 하면

α+β=[eqn: { -2b} over {-2a } =- {b } over {a }],   αβ=[eqn: { { b}^{ 2}- { b}^{2 }+4ac } over {4 { a}^{2 } } = { c} over {a }]

∴ 두 근의 합 α+β=[eqn: - {b } over {a }] , 두 근의 곱 αβ=[eqn: { c} over {a }]가 된다.

2. 이차함수([eqn: y=a { x}^{2 } +bx+c, a≠0] )

(1) 이차함수의 그래프

1) [eqn: y=a { x}^{2 }] 의 그래프

[Ⅰ] 함수[eqn: y=a { x}^{2 }]([eqn: a≠0]) 의 그래프는 원점을 꼭지점, y축을

축으로 하는 포물선이다.

이때, [eqn: a>0] 이면, 의로 오목(아래로 볼록)

[eqn: a<0] 이면, 아래로 오목(위로 볼록)하다.

[Ⅱ] 두 포물선 [eqn: y=a { x}^{2 }] 과 [eqn: y=-a { x}^{2 }]은[eqn: x]축에 대하여 대칭 [Ⅲ] 포물선 [eqn: y=a { x}^{2 }]은 [eqn: a] 의 절대값이 작을수록 폭이 넓어지       고, 클수록 폭이 좁아진다.

2) [eqn: y=a { x}^{2 }+c] 의 그래프

○[eqn: y=a { x}^{2 }] 의그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: c]만큼 이동한 포물선

○ 그래프의 성질

	오목한 방향	증가하는 [eqn: x]의범위	축의 방정식	꼭지점의 좌표	최소(대)값
[eqn: a>0]	위로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]>0}	[eqn: x]=0	(0, [eqn: c])	최소값[eqn: c]
[eqn: a<0]	아래로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]<0}			최대값[eqn: c]

3)[eqn: y=a { (x-α)}^{2 }] 의 그래프

○ [eqn: y=a { x}^{2 }] 의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 α만큼 이동한 포물선

○ 그래프의 성질

	오목한 방향	증가하는 [eqn: x]의범위	축의 방정식	꼭지점의 좌표	최소(대)값
[eqn: a>0]	위로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]>0}	[eqn: x]=0	(0, [eqn: c])	최소값[eqn: c]
[eqn: a<0]	아래로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]<0}			최대값[eqn: c]

	오목한 방향	증가하는 [eqn: x]의범위	축의 방정식	꼭지점의 좌표	최소(대)값
[eqn: a>0]	위로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]>α}	[eqn: x]=α	(α, 0)	최소값 0
[eqn: a<0]	아래로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]<α}			최대값 0

4) [eqn: y=a { (x-α)}^{2 } +β] 의 그래프

○[eqn: y=a { x}^{2 }] 의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 α,[eqn: y]축의 방향으로 β

만큼 이동한 포물선

○그래프의 성질

	오목한 방향	증가하는 [eqn: x]의범위	축의 방정식	꼭지점의 좌표	최소(대)값
[eqn: a>0]	위로 오목	{[eqn: x]|[eqn: x]>α}	[eqn: x]=α	(α, β)	최소값 β
[eqn: a<0]	아래로오목	{[eqn: x]|[eqn: x]<α}			최대값 β

(2) 이차함수의 최대, 최소

1) 정의구역이 없을 경우

○[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]=[eqn: a( { x}^{2 }+ { b} over {a }x)+c]

[eqn: {4ac- { b}^{ 2} } over { 4a}]

=[eqn: a]{[eqn: { x}^{2 }+ { b} over {a }x+ { ( { b} over {2a }) }^{2 } -{ ( { b} over {2a }) }^{2 }]}+[eqn: c]

[eqn: { -b} over {2a }]

최대값

=[eqn: a { (x+ { b} over {2a }) }^{2 }- { { b}^{2 } } over {4a } +c]

최소값

[eqn: { -b} over {2a }]

=[eqn: a { (x+ { 2a} over {b }) }^{2 }- { { b}^{2 }-4ac } over {4a }]

[eqn: {4ac- { b}^{ 2} } over { 4a}]

즉, [eqn: y=a { (x+ { b} over {2a }) }^{2 } + { 4ac- { b}^{2 } } over {4a }]

○[eqn: a>0] →(∪꼴)(아래로 볼록, 위로 오목)

대칭축 →[eqn: x=- { b} over {2a }].   꼭지점 → ([eqn: - { b} over {2a }],[eqn: { 4ac- { b}^{2 } } over {4a }])

최소값 →[eqn: { 4ac- { b}^{2 } } over {4a }]

○ [eqn: a<0] →(∩꼴)(위로 볼록, 아래로 볼록)

대칭축 →[eqn: x=- { b} over {2a }],   꼭지점 → ([eqn: - { b} over {2a }],[eqn: { 4ac- { b}^{2 } } over {4a }])

최대값 →[eqn: { 4ac- { b}^{2 } } over {4a }]

2)[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]=[eqn: a { (x-α)}^{2 } +β]

이고 정의구역이 {[eqn: x]|[eqn: m≤x≤n]}

α

일 때,

○꼭지점의 [eqn: x]좌표 α가 [eqn: m≤x≤n]

일 때(구간 안에 꼭지점이 있을 때)

○꼭지점의 [eqn: x]좌표 α가 α<[eqn: m], 또는

α

α>[eqn: n] 일때(구간안에 꼭지점이 없을때)

3. 이차방정식과 이차함수와의 관계

(1)이차방정식의 그래프에 의한 해법

[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)]에서

[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 그래프를 그려

β

α

서 [eqn: x] 축([eqn: y] =0) 과 만난 점의 [eqn: x] 좌표

가 이차방정식의 근이 된다.

(2)이차함수의 [eqn: x] 절편과 [eqn: y] 절편

1)[eqn: x] 절편:[eqn: y] 대신에 0을 대입한다. 즉,[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)]의

근이 이차함수 [eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 [eqn: x] 절편이다.

2)[eqn: y] 절편:[eqn: x] 대신에 0을 대입한다. 즉,[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의

[eqn: y] 절편은 [eqn: c] 이다.

(3)이차방정식의 근의 갯수

1)[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 그래프가 [eqn: x] 축과 두 점에서 만난다.

⇒ 근이 두 개

2)[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 그래프가 [eqn: x] 축에 접한다.

⇒ 근이 한 개

3)[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 그래프가 [eqn: x] 축과 만나지 않는다.

⇒ 근이 없다.

근이 두 개(D>0)       근이 한 개(D=0)         근이 없다(D<0)

(단, D=[eqn: { b}^{2 }-4ac]  )

2

	학습 진전 상황을 주기적으로 점검 확인하 고 결함 부분을 치료함으로써 학습성과를 높이도록 합시다.

보충학습

※ 다음 설명 중 □속에 알맞는 말을 넣으시오.

1. [eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0 (a ≠0)]의 근을 구해보자.

[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0]  , [eqn: { x}^{2 }+ { b} over {a }x+①□=0]   ,[eqn: { x}^{2 }+ { b} over {a }x=- { c} over {a }]

[eqn: { x}^{2 }+ { b} over {a }x+ {( { b} over {②□ }) }^{2 } = - { c} over {a } +③□]

[eqn: { (x+ { b} over {2a }) }^{2 }= { { b}^{2 }-④□ } over {4 { a}^{ 2} }]

∴[eqn: x+ { b} over {2a } =± SQRT { { { b}^{ 2} -4ac} over {4 { a}^{ 2} } }]   [eqn: x=- { ⑤□} over {2a }± SQRT { { { b}^{2 }-4ac } }over 2a]

∴[eqn: x= { -b± SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over {2a }]   (이차방정식의 근의 공식)

2. 이차함수 [eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]를 ⑥□축에 대칭이동([eqn: y] ⇒-[eqn: y] )

하면 [eqn: y=⑦□ { x}^{2 } -bx-c]  가 되고, [eqn: y] 축에 대칭이동([eqn: x]⇒⑧□)

하면 [eqn: y=a { x}^{2 }⑨□x+c]   가 되며, 원점에 대칭이동([eqn: x] ⇒-[eqn: x],

[eqn: y] ⇒-[eqn: y] ) 하면 [eqn: y=-a { x}^{2 }⑩□x-c] 가 된다.

3. [eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 꼭지점과 대칭축의 식을 구해보자.

[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]=[eqn: a] {[eqn: { x}^{2 }+ { b} over {a }x + {( { b} over {⑪□ } )}^{2 }- {( {b } over {2a }) }^{2 }]   +[eqn: c]

=[eqn: a { (x+ { b} over {2a }) }^{2 } - { ⑫□} over {4a }+c]

=[eqn: a { (x+ { b} over {2a }) }^{2 } + { ⑬□} over {4a }] 이 되므로

꼭지점은 ([eqn: - { b} over {2a }] , [eqn: { 4ac- { b}^{ 2} } over {⑭□ }]) 이고 대칭축의 식은

[eqn: x=⑮□] 가 된다.

4. [eqn: x] 가 {1≤[eqn: x] ≤5 } 일 때, [eqn: y=- { x}^{2 }+8x-12]    의 최대값, 최소값을 구해보자.

[eqn: y=- { x}^{2 }+8x-12]

= [eqn: - { (x⑯□)}^{2 }+4]

[eqn: x=] 1일 때, [eqn: y=] ⑰□

[eqn: x=] 4일 때, [eqn: y=] ⑱□

[eqn: x=] 5일 때, [eqn: y=] ⑲□ 이므로

[eqn: x=] 4일 때, [eqn: y=] ⑳□ 는 최대값이 되고

[eqn: x=] 1일 때, [eqn: y=] □ 는 최소값이 된다.

5. 오른쪽 그림은 [eqn: y=x+6]   …㉠과

[eqn: y=- { x}^{2 }+12]   …㉡ 의 그래프이다.

㉠

A, B, C 의 좌표는 A( □),

B(-3, 3), C( □) 이고 (△OAB)

: (△BOC)=□ : 5 가 됨을 알 수 있다.

㉡

▣ 꼭 알아 둡시다.(고교 입문 요령)

◎ 이차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식 [eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0]  의 두 근을 α,β라 하면

ⅰ)α+β=-[eqn: { b} over {a }]    ⅱ)αβ=[eqn: { c} over {a }]   ⅲ)|α-β|=[eqn: { SQRT { { b}^{ 2} -4ac} } over {|a| }]

「ⅰ),ⅱ),ⅲ) 의 공식 α=[eqn: { -b+ SQRT { { b}^{ 2}-4ac } } over {2a }]

β=[eqn: { -b- SQRT { { b}^{ 2}-4ac } } over {2a }]   를 실제로 대입해보자.」

◎ 이차식의 인수분해

이차방정식 [eqn: a { x}^{2 }+bx+c=0]  의 두 근을 α,β라 하면

[eqn: a { x}^{2 }+bx+c=a(x-α)(x-β)] 이므로 이것을 이용하여 이차     식 [eqn: a { x}^{2 }+bx+c]  도 인수분해할 수 있다.  (단, 실수의 범위내     에서  근을 가질 때)

◎ 이차방정식의 작성

ⅰ)두 수 α,β를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: (x-α)(x-β)=0]  즉, [eqn: { x}^{2 }-(α+β)x+αβ=0]

ⅱ) α+β=A, αβ=B 인, α,β 는 이차방정식 [eqn: { x}^{2 }-Ax+B=0]

의 두 근이다.

◎[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c]의 그래프와 계수의 부호

ⅰ)a의 부호 ㉠아래로 볼록인 포물선⇔a > 0

㉡위로 볼록인 포물선⇔a < 0

ⅱ)b의 부호 (a의 부호와 축의 위치에 따라)

㉠축이 y축의 오른쪽⇔a, b는 다른 부호

㉡축이 y 축⇔b=0

㉢축이 y축의 왼쪽⇔a, b는 같은 부호

ⅲ)c의 부호(y축과의 교점의 y좌표에 따라)

㉠원점 위에서 y축과 만난다.⇔c > 0

㉡원점을 지난다.⇔c = 0

㉢원점 아래서 y축과 만난다.⇔c < 0

답

① [eqn: { c} over {a }]  ② 2a  ③[eqn: { { b}^{2 } } over {4 { a}^{2 } }]   ④ 4ac  ⑤ b  ⑥x  ⑦ -a  ⑧ -x

⑨ -b   ⑩ +b  ⑪ 2a ⑫[eqn: { b}^{2 }] ⑬4ac-[eqn: { b}^{2 }]⑭ 4a⑮[eqn: - { b} over {2a }] ⑯-4     ⑰ -5  ⑱ 4   ⑲ 3   ⑳ 4   -5   -6, 0   2, 8   3

3

♠ 수학의 산책 ♠

-기하학의 탄생-

유클리드 (Euclid. BC 300년경)는 알렉산더 시대와 아테네 시대와의 과도기에 활약한 사람으로, 수학사상 불후의 이름을 남기고 있으나 그의 전기는 전해지지 않고 있다. 『기하학에는 임금님만의 전용도로라는 것은 있을 수 없다.』(There is royal in geometry)고 충고했다는 설이 전해지고 있으나 사실여부는 정확하지 않고, 대체로 기원전 300년경에 활 약했으며 따라서 아테네에서 공부했었다는 것으로 추측된다.

유클리드의 이름이 빛나게 된 것은 그가 수학의 영역에서 행한 발견으로 인한 것이 아니고, 그의 저서 “기하학 원론‘ 13권 때문인데, 이 책은 여러문제를 논리적으로 논했고 아름다운 체계를 세웠다는 점에서 저자의 창의가 높이 평가되고 있다.

이 ‘기하학 원론’ 에는 서문이나 설명도 없다. 제 1권의 제 1페이지에는 ‘정의’가 차례로 배열되어 있는데, 정의는 이 책에 있어서 중요한 위치를 차지하고 있다. 수학에서 특히 중요시되고 있는 정의에 관해 이 책에서는 그리이스어로 ‘언어의 정확한 한정’ 다시 말하면 ‘물건의 본질을 표현하는 명제’ 라고 생각했는데, 실제로는 ‘경험에 의해 얻은 것을 언어로 가장 명확히 표현하려고 마음먹은 것들의 집단’이 그것이다.

이제 유클리드의 정의 중에서 우리가 할수 있는 것만을 생각해 보면

‧점은 부분을 갖지 않은 것이다.

라고 했는데 이것은 ‘길이’가 없는 것이라고 할 수 있다.

‧선은 폭이 없는 길이 이다.

‧선의 양단은 점이다.

이것만으로 부족하여 ‘선은 점으로 구성되어 있다’는 관념을 덧붙였      다.

‧직선이라 함은 모든 점이 평등하게 놓인 선을 말한다.

‧면과 폭은 길이만을 갖는 것이다.

‧면의 끝은 선이다.

라고 정의하여 면은 선으로 이루어졌다는 관념을 덧붙였다.

‧평면은 그위에 있는 임의의 두 점을 양끝으로 갖는선이 완전히 이면     에 품기게 되는 면이다.

‧경계는 물건의 끝을 말한다.

‧도형은 하나 또는 여러 경계로써 둘러싸인 것이다.

‧동일평면 상에 있는 두직선을 쌍방으로 한없이 연장해도 만나지 않      을 때, 이것을 평행선이라 한다.

정의집을 끝내고 계속해서 ‘공준(公準)’이 나와 있는데, 공준의 본래의 의미는 ‘요청’이다. 따라서, ‘승인을 요구한’ 명제이다. 이것을 차례로 써 보면

‧임의의 점에서 임의의 점까지 한 직선을 긋기

‧유한 선분을 연속적으로 연장해서 한 직선으로 할 것

‧임의의 중심과 임의의 거리의 원을 그리기

‧직각은 모두 같다.

‧한직선이 두 직선과 만나서 그 한편에 있는 두 내각의 합이 2직각(180°)보다 작을 때는 그 두직선을 한없이 연장하면 내각의 합이 2직각보다 작은 편에서 만나게 된다.

위의 다섯 개의 공준 중에서 맨 끝의 것은 가장 유명하고 유클리드 기하학을 특징짓는 것으로서, ‘평행선의 공준’ 또는 ‘유클리드의  공준’이라 명명되어 있다. 이것은 한 편에 있는 두 각 α,β의 합이 2∠R보다 크거나 작을 때는 두 직선이 만나게 되고 α+β=2∠R일 때는 두 직선이 평행하다는 것이다.

서론의 마지막으로 ‘공리(公理)’가 나와 있는데, 공리라 함은 ‘누구든지 진리임을 승인할 것이라고 생각하는 개념’이라는 뜻이다.이론적으로는 공준과 다를 바 없다.  이것들을 기술해 보면

‧같은 것과 같은 것은 서로 같다.

‧같은 것에 같은 것을 각각 더하면 그 전체는 같아진다.

‧같은 것에서 같은 것을 각각 빼면 나머지는 또 같아 진다.

‧겹쳐 놓을 수 있는 것은 서로 똑 같다.

‧전체는 부분보다 크다.

이 중에서 제 1공리는 수학적 삼단논법이라고 할 수 있는 ‘A=B, B=C이면 A=C’ 이고, 제 2공리는 ‘A=B 이면 A+C=B+C’이며 제 3공리는 ‘A=B이면 A-C=B-C’이다. 제 5공리에서는 ‘부등(不等)’ 이란 개념이 나타나 있으나 유클리드 자신은 이에 덧붙인 일이 없다.

이상에서 보면 유클리드의 ‘기하학 원론’은 지금 우리가 쉽게 이해할 수 있는 것이고 거의가 경험에서 우러나온 것임을 깨달을 수 있다.

심화학습

	필수 학습 목표를 기준으로 작성된 문제들로 각종 시험에 대비하여 실전 능력을 배양해 둡시다.

◈ 다음 각 물음에 답하시오.

6.[eqn: { x}^{2 }-12x+9=0]의 두근을 α,β(α>β)라 할 때,[eqn: { α}^{2 }+ { β}^{2 }]의 값     을 의 값을 구하면?

7. 이차방정식 [eqn: { x}^{ 2}-(a+3)x+a=0] 의 한근이 -1이면, 나머지 한 근은?

8.[eqn: { x}^{2 }-6x+8=0]  을 [eqn: { (x+a)}^{2 }=b]  의 모양으로 바꾸었을 때, 상수 a, b 의 값은?

9. 이차방정식 [eqn: 3 {x }^{2 }+12x-a=0]  (a는 상수)의 해집합이 공집합이 되게 하는 a 의 범위를 구하면?

10. 다음 이차방정식 중에서 실근을 갖지 못하는 것은?

①[eqn: { x}^{2 }-x+1=0]

②[eqn: { x}^{2 }+10x +5=0]

③[eqn: { x}^{2 }+x+1=0]

④[eqn: { x}^{2 }-2x+1=0]

⑤[eqn: { x}^{2 }-3x+1=0]

11. 이차방정식 [eqn: 3 { x}^{2 }-4x-2=0] 을 근의 공식을 이용하여 풀 때,

□속에 알맞는 것을 구하시오.

[eqn: x= { 2± SQRT { □} } over {3 }]

12. 어떤 자연수를 제곱한 것이 그 수의 4배보다 5가 더 클 때, 그 수      를 구하면?

13. 어떤 수의 2배에 3을 더한 것과 처음 수에서 1을 뺀 것과의 곱이

45라고 한다.구하는 수를 x라 할 때, 옳은 것은?

①[eqn: (2x+3)(x-1)=45]

②[eqn: (2x+3)(x+1)=45]

③[eqn: (2x-3)(x+1)=45]

④[eqn: (2x-3)(x-1)=45]

⑤[eqn: (2x+3)(2x-3)=45]

14.[eqn: { x}^{2 }+ax+b=0]   의 해집합이 {1, 2}일 때, a + b 의 값은?

15.[eqn: y=a { x}^{ 2} +bx+c] 에서 a > 0, b < 0, c=0 일 때, 이 그래프가

지나지 않는 사분면은?

16. 이차함수 [eqn: y= {x }^{2 } +px+q]   의 그래프에서 p + q =2 이고, (1, a)를

지난다. 이 때, a의 값을 구하면?

17. [eqn: y= { x}^{2 }-2x+1]   의 그래프를 y축 방향으로 평행이동 시켜서 점

(-2, 1)을 지나도록 하려면 얼마나 평행이동 시키면 되는가?

18. 다음의 두 이차함수의 그래프에 대하여 잘못 설명한 것은?

[eqn: y=3 { (x-1)}^{2 } -2]    ,    [eqn: y=-3 { (x-1)}^{2 } -2]

① 두 그래프의 벌어진 정도는 같다.

② 직선 y=-2 에 대하여 선대칭이다.

③ 두 그래프의 꼭지점과 대칭축의 식은 같다.

④ 두 그래프는 x축에 대하여 선대칭이다.

⑤ 두 그래프는 y축에 대하여 선대칭이다.

19. [eqn: y=a { x}^{2 }+bx]   에서 a + b <0, ab >0 일 때, 이 함수의 그래프의

개형은?

20. 이차함수 [eqn: y=2 { (x-2)}^{2 }-3]   의그래프는 [eqn: y=2 { x}^{2 }] 의 그래프를

x축의 (   ) 의 방향으로 -2만큼, y축의 양의 방향으로 (    )

만큼 평행이동한 그래프이다. (    )에 차례로 알맞는 것은?

① 양,  3                  ② 양,   -3

③ 음,  3                  ④ 음,   -3

⑤ 양,  2

21. 이차함수 [eqn: y=- { 1} over {2 } { x}^{2 }-3x-6] 의 꼭지점의 좌표를 구하면?

22. 세점 A(0, -1), B(1, 1), C(2, 5)를 지나는 포물선의 식은?

23. 이차함수 [eqn: y= { 1} over {2 } { x}^{2 }-2x+5] 에 대하여 옳게 설명한 것은?

① x=2 일 때, y는 최소깂 3을 갖는다.

② x=2 일 때, y는 최소깂 7을 갖는다.

③ x=-2 일 때, y는 최대깂 3을 갖는다.

④ x=-2 일 때, y는 최대깂 7을 갖는다.

24. [eqn: y= { x}^{2 }] 의 그래프를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 3만큼 평행

이동한 식은?

25. 이차함수 [eqn: y=-3 { x}^{2 }+5] 의그래프를 x축의 방향으로 2, y축의

방향으로 -3만큼 평행이동 하였다.이 함수의 최대값을 구하시오,

26. 포물선 [eqn: y= { x}^{2 }-3x +2] 와 직선 [eqn: y=ax-1] 의 두 교점 A, B 중

A 의 좌표가 (1, 0) 일 때, B의 좌표를 구하면?

27. 포물선 [eqn: y=-2 { x}^{2 }+4x+6] 에서 x 의 변역이

{ x | -3 ≤ x ≤ 0 } 일 때, 최대값 a와 최소값 b를 구하면?

28. 다음 그래프는 [eqn: y=- { x}^{2 }+kx+4] 이다. A, B 는 포물선과 x축

과의 교점, A의 좌표는 (4, 0) 이다.이때, k의 값을 구하면?

29. 이차함수 [eqn: y=-2 { x}^{2 } +4x+16] 의 그래프에서 y축, x축과의

교점을 A, B, C 라 할 때, △ABC 의 넓이를 구하시오.

30. 다음 이차방정식 중 오른쪽

㉠

그래프 ㉠,㉡을 이용하여 풀 수

있는 것은?

①[eqn: - { x}^{2 } +x-2=0]

②[eqn: { x}^{2 }+x-2=0]

③[eqn: { x}^{2 }-x-2=0]

④[eqn: - { x}^{2 }-x+2=0]

⑤[eqn: { x}^{2 }+x+2=0]

㉡

31.[eqn: k { x}^{2 }-4x+k+3] 이 x 관한 완전제곱식이 되게 하는 k 의 값을

[eqn: k_1] , [eqn: k_2] 라 하면, [eqn: k_1] + [eqn: k_2] 의 값을 구하시오.

32. 포물선 [eqn: y= { x}^{2 }+2kx+4k] 는 k 의 값에 관계없이 항상 일정한 점      을 지난다.  이 점이 이 포물선의 꼭지점일 때, k 의 값을 구하시      오.

제 3회

탐구학습

1

한일고	한일학습프로그램	창조적 사고, 적극적 행동	출제진도범위
	수 학	2004 신입생 선수 학습	피타고라스의 정리

	학습의 포인트가 되는 교과서의 핵심을 정리,기본원리를 파악해 둡시다.

□ 피타고라스의 정리

1. 피타고라스의 정리

(1)피타고라스의 정리

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 [eqn: b,c],

빗변의 길이를 [eqn: a]라 하면 [eqn: { b}^{2 }+ { c}^{2 }= { a}^{2 }]

즉, [eqn: ∠A=90°]이면

[eqn: { AB}^{2 }+ {AC}^{2 }= { BC}^{2 }]이 된다.

(2)피타고라스의 정리와 증명

[증명 Ⅰ]

다음 그림에서 정사각형 [eqn: ADEF]는

직각삼각형 [eqn: ABC]의 직각을 낀 두 변

의 길이 [eqn: b,c]의 합을 한 변으로 하는

정사각형이다.

[eqn: △ABC≡△DGB≡△EHG≡△FCH]

∴[eqn: BC=BG=GH=HC]

사각형 [eqn: BGHC]에서

[eqn: ∠B=∠G=∠H=∠C=90°]

∴사각형 [eqn: BGHC] 에서

[eqn: (□BGHC)=(□ADEF)-4×(△ABC)]

∴[eqn: { a}^{2 }= { (b+c)}^{2 } -4× { bc} over {2 } = { b}^{2 } +2bc+ { c}^{2 }-2bc]

∴[eqn: { a}^{2 } = { b}^{2 } + { c}^{2 }]

[증명 Ⅱ]

〔가정〕[eqn: △ABC]에서 [eqn: ∠A=90°]이면

〔결론〕[eqn: { AB}^{2 }+ { AC}^{2 }= { BC}^{2 }] 이다

〔증명〕[eqn: △ABM] 과 [eqn: △GBC] 에서

[eqn: AB=GB,BM=BC]

[eqn: ∠ABM=∠ABC+90°]

[eqn: ∠GBC=∠ABC+90°]

∴[eqn: ∠ABM=∠GBC]

∴[eqn: △ABM≡△GBC] (두 변과

끼인각이 같다.)

또, [eqn: BM] (밑변), [eqn: BP] (높이) 가

공통이므로 [eqn: (△ABM)=(△PBM)]

∴[eqn: (□BMHP)=2(△ABM)]

또, [eqn: BG] (밑변), [eqn: AB] (높이) 가

공통이므로 [eqn: (△GBC)=(△GBA)]

∴[eqn: (□ABGF)=2(△GBC)]

따라서, [eqn: (□ABGF)=(□BMHP)]  …㉠

같은 방법으로 [eqn: △ACN≡△DCB]

∴[eqn: (□ACDE)=(□PHNC)]    …㉡

㉠ + ㉡ → [eqn: (□ABGF)+(□ACDE)=(□BMNC)]

∴[eqn: { AB}^{2 } + { AC}^{2 }= { BC}^{2 }]

[증명 Ⅲ]

다음 그림에서

[eqn: { AB}^{2 }=BD․BC]

[eqn: { AC}^{2 }=CD․BC]

[eqn: { AD}^{2 }=BD․CD] 를 이용하면

[eqn: { AB}^{2 }+ { AC}^{2 }=BD․BC+CD․BC]

[eqn: =BC(BD+CD)= { BC}^{2 }]

∴[eqn: { AB}^{2 }+ { AC}^{2 }= { BC}^{2 }]

(3)피타고라스의 정리의 역

삼각형 [eqn: ABC] 의 세변의 길이를 [eqn: a, b, c] 라 할 때,

[eqn: { b}^{2 } + { c}^{2 }= { a}^{2 }] 이면 , [eqn: ∠A] 는 직각이다.

(4)삼각형의 각과 변의 크기의 관계(Ⅰ)

△[eqn: ABC]에서 [eqn: a]가 최대의 변일 때

[Ⅰ] [eqn: ∠A<90°]이면, [eqn: { a}^{2 }< { b}^{2} + { c}^{2 }]

[Ⅱ] [eqn: ∠A=90°]이면, [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }]

[Ⅲ] [eqn: ∠A>90°]이면, [eqn: { a}^{2 }> { b}^{2 } + { c}^{2 }]

(5)삼각형의 각과 변의 크기의 관계(Ⅱ)

△[eqn: ABC]에서 [eqn: a]가 최대의 변일 때

[Ⅰ] [eqn: { a}^{2 }< { b}^{2} + { c}^{2 }] 이면, [eqn: ∠A<90°]이다.

[Ⅱ] [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }]이면, [eqn: ∠A=90°]이다.

[Ⅲ] [eqn: { a}^{2 }> { b}^{2 } + { c}^{2 }]이면, [eqn: ∠A>90°]이다.

2.피타고라스의 정리의 활용

(1)직사각형과 정사각형의 대각선의 길이

1) 정사각형의 대각선의 길이

[eqn: l= SQRT { { a}^{2 }+ { a}^{2 } }= SQRT { 2 { a}^{2 } }]

[eqn: l]

∴ [eqn: l= SQRT { 2} a]

2) 직사각형의 대각선의 길이

[eqn: l]

[eqn: l= SQRT { { a}^{2 }+ { b}^{2 } }]

(2)정삼각형의 높이와 넓이

다음 그림과 같이 한 변의 길이가

[eqn: a]인 정삼각형 [eqn: ABC]에서

1)높이 [eqn: h= SQRT { { a}^{2 }- { ( { a} over {2 }) }^{2 } }]

(∵직각삼각형 [eqn: ABH] )

[eqn: = SQRT { { 3} over {4 } { a}^{2 } }= { SQRT { 3} } over {2 } a]

[eqn: { h} over {2 }]

2)넓이 (△[eqn: ABC]) = [eqn: { 1} over {2 } ․a․h]

=[eqn: { SQRT { 3} } over {4 } { a}^{2 }]

2

(3) 두 점 사이의 거리

1) [eqn: y] 좌표가 같은 두 점 사이의 거리

([eqn: x] 축에 평행한 선분의 길이)

[eqn: PQ=| a-b|]

2) [eqn: x]좌표가 같은 두점사이의 거리

([eqn: y] 축에 평행한 선분의 길이)

[eqn: CD=|c-d |]

3) 한 점과 원점 사이의 거리

[eqn: OP= SQRT { { x_1}^{2 }+ { y_1}^{2 } }]

4) 임의의 두 점 사이의 거리

[eqn: PQ= SQRT { {({ x_2}-{x_1})}^{2 }+ { ({y_2}-{y_1})}^{2 } }]

(4)직육면체와 정육면체의 대각선의 길이

1) 직육면체의 대각선의 길이

[eqn: l= SQRT { { a}^{2 }+ { b}^{2 }+ { c}^{2 } }]

[eqn: l]

[eqn: l]

2)정육면체의 대각선의 길이

[eqn: l= SQRT { { a}^{2 }+ { a}^{2 }+ { a}^{2 } }]

[eqn: = SQRT { 3 { a}^{2 } }]

∴[eqn: l= SQRT { 3} a]

(5) 정사면체의 높이

밑면이 정삼각형인 [eqn: ABC] 에서

[eqn: H] 는 [eqn: △ABC]의 무게중심이므로

[eqn: BH= { 2} over {3 }(BD)= { 2} over {3 }× { a} over {2 }]×[eqn: SQRT { 3}]

[eqn: = { SQRT { 3} } over {3 } a]

[eqn: { SQRT { 3} } over {3 } a]

[eqn: △VBH]에서 [eqn: VH= SQRT { { VB}^{2 }- { BH}^{2 } }]

[eqn: = SQRT { { a}^{2 }- { 1} over {3 } { a}^{2 } }][eqn: = SQRT { { 2} over {3 } { a}^{2 } }]

∴[eqn: VH= { SQRT { 2} } over { SQRT { 3} }a= { SQRT { 6} } over {3 }a]

□  알고 넘어 갑시다 □

* 삼각형의 오심 *

(1)내심(삼각형의 내접원의 중심):삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서     만 난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다.

(2)외심(삼각형의 외접원의 중심):삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서    만난다. 이 점을 삼각형의 외심이라고 한다.

(3)방심(삼각형의 방접원의 중심):삼각형의 한 내각의 이등분선과 나머지 다른    두 외각의 이 등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한    다.

(4)수심:삼각형의 각 꼭지점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다.

이 점을 삼각형의 수심이라고 한다.

(5)무게중심(무게가 있는 삼각형의 무게중심):삼각형의 각 꼭지점에서 대변의    중점을 연결한 세 개의 선분(중선)은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의     무게중심이라고 한다.

보충학습

	학습 진전 상황을 주기적으로 점검 확인하 고 결함 부분을 치료함으로써 학습성과를 높이도록 합시다.

※ 다음 설명 중 □속에 알맞는 말을 넣으시오.

1. 피타고라스의 정리의 증명

[eqn: △ABC]와 [eqn: △DBA]에서

[eqn: ∠ABC]는 공통

[eqn: ∠BAC=∠BDA=]①

이므로, [eqn: △ABC] ∽[eqn: △DBA]

따라서, [eqn: AB] : ②

=[eqn: DB] :[eqn: BA]

즉, [eqn: c] :[eqn: a] =[eqn: DB] : ③

∴ ④     = [eqn: a․DB]  …㉠

c

같은 방법으로 [eqn: △ABC] ∽[eqn: △DAC]

따라서, [eqn: AC] :[eqn: BC] = ⑤     :[eqn: AC]

즉, [eqn: b] :[eqn: a] =[eqn: DC] : ⑥

∴ ⑦     =[eqn: a․DC]   …㉡

㉠, ㉡을 변끼리 더하면

[eqn: { b}^{2 } + { c}^{2 } =a․DC+a․]⑧

=⑨     [eqn: (DC+DB)=a․(BC)=]⑩

∴ [eqn: { b}^{2 }+ { c}^{2 }= { a}^{ 2}] 이 된다.

2. 피타고라스의 정리의 역의 증명

[‘△[eqn: ABC] 에서 [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }]  이면, [eqn: ∠A=90°]이다.’ 의 증명]

[eqn: ∠A] ⑪       90°라고 가정하면 [eqn: ∠A] ⑫      90°이거나

[eqn: ∠A]< 90°이다.

ⅰ) [eqn: ∠A] > 90°이면  [eqn: { a}^{2 }> { b}^{2 }+ { c}^{2 }]

ⅱ) [eqn: ∠A] < 90°이면  [eqn: { a}^{2 }] ⑬     [eqn: { b}^{2 } + { c}^{2 }]

이것은 어느 경우에나 ⑭      = [eqn: { b}^{2 } + { c}^{2 }] 에 모순이다.

그러므로 [eqn: △ABC]에서

[eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }] 이면

[eqn: ∠A] < 90°일 수도 없고,[eqn: ∠A] > 90°일 수도 없다.

∴  [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }]이면

[eqn: ∠A] = ⑮       이다.

3. 다음 [eqn: △ABC] 에서 [eqn: AH⊥BC] 이며

[eqn: AH=12cm], [eqn: BH=9cm],

[eqn: CH=5cm] 이다.

[eqn: AB=] ⑯     [eqn: cm] , [eqn: AC=13cm]이며

[eqn: { AB}^{2 }= { AH}^{2 }+]⑰[eqn: { □}^{2 }]  …㉠

[eqn: { AC}^{2 }= { AH}^{2 }+]⑱[eqn: { □}^{2 }]  …㉡

㉠ - ㉡ 에서 [eqn: { AB}^{2 }- { AC}^{2 }=] ⑲[eqn: { □}^{2 }- { CH}^{2 }]

이상에서 [eqn: AB, AC] 를 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이

의 차 즉, [eqn: { AB}^{2 }- { AC}^{2 }=]⑳    [eqn: { cm}^{2 }]

4. [한 변이 [eqn: a]인 정삼각형 [eqn: ABC]의 넓이]

[eqn: AB= BC=CA=a] 일 때,

[eqn: AH⊥BC] 라 하면

30°

[eqn: BH= { 1} over {2 } (BC)=]

[eqn: { SQRT { 3} } over {2 } a]

∴ [eqn: { AH}^{2 }= { AB}^{2 }- { BH}^{2 }]

[eqn: { a} over {2 }]

[eqn: { a} over {2 }]

60°

[eqn: = { a}^{2 }]- [eqn: { □}^{2 }]=[eqn: { 3 { a}^{ 2} } over {4 }]

a

∴      [eqn: = SQRT { { 3} over {4 } { a}^{ 2} }][eqn: =][eqn: { SQRT { 3} } over {2 }a]

∴[eqn: △ABC]의 넓이 [eqn: S]

[eqn: S= { BC} over {2 }]×         ∴[eqn: S=]      ×[eqn: { 1} over {2 }]×[eqn: { SQRT { 3} } over {2 } a]=[eqn: { SQRT { 3} } over {4 } { a}^{2 }]

5. 다음 그림과 같은 직육면체에서

[eqn: A]는 윗면의 대각선의 교점이다.

이 때, [eqn: △ABC]는 □□□삼각형

이고 [eqn: AB=]     [eqn: cm], 직육면체

의 대각선은      [eqn: cm] 이다.

△[eqn: ABC]=    [eqn: { cm}^{2 }]이며

□[eqn: DBCE=]     [eqn: { cm}^{2 }]가 된다.

4cm

심화학습

답

	필수 학습 목표를 기준으로 작성된 문제들로 각종 시험에 대비하여 실전 능력을 배양해 둡시다.

① 90°② BC ③ c ④[eqn: { c}^{2 }] ⑤ DC ⑥ b ⑦ [eqn: { b}^{2 }] ⑧ DB ⑨ a  ⑩[eqn: { a}^{2 }]

⑪ ≠ ⑫ > ⑬ < ⑭[eqn: { a}^{2 }] ⑮ 90°⑯ 15 ⑰ BH ⑱ CH ⑲ BH ⑳ 56

[eqn: { a} over {2 }][eqn: { a} over {2 }] AH  AH a 이등변[eqn: { 5 SQRT { 5} } over {2 }][eqn: 5 SQRT { 2}] [eqn: { 25} over {2 }] 25

3

◎다음 각 물음에 답하시오.

6. 한 변의 길이가 4[eqn: cm] 인 정삼각형의 넓이를 구하면?

7. 세 변의 길이가 다음과 같을 때, 직각 이등변삼각형은?

① 3, 4, 5                     ② 4, 4,[eqn: 4 SQRT { 2}]

③ 5, 5, 7                     ④ 3, 3,[eqn: 4 SQRT { 2}]

⑤ 3, 5, 7

8. 좌표평면위의 세점 [eqn: A] (1, 5), [eqn: B] (6, 1), [eqn: C] (-2, 1)를 꼭지점으로

갖는 [eqn: △ABC] 의 형태는?

9. 다음 그림과 같은 직육면체에서

꼭지점 [eqn: A] 에서 [eqn: G] 까지 표면으로

끈을 연결하면 끈의 길이는?

10. 세변의 길이가 [eqn: x,] [eqn: x+7], [eqn: x+8] 인 삼각형이 직각삼각형일 때,

[eqn: x] 의 값을 구하면?

11. 다음 그림으로 피타고라스의 정리를 증명 하는데 필요한 식은?

① [eqn: { a}^{2 }= { 1} over {2 } { (b+c)}^{2 }]

②[eqn: { (b+c)}^{2 }= { a}^{2 }+4× { 1} over {2 }bc]

③ [eqn: { a}^{2 }= { (c-b)}^{2 }+4× { 1} over {2 } bc]

④  [eqn: { 1} over {2 } { (b+c)}^{2 } =2× { 1} over {2 }bc+ { a}^{2 }]

⑤ [eqn: { a}^{2 }+ { b}^{2 } =2bc]

12. 다음 설명 중 틀린 것은?

① 「△[eqn: ABC] 에서 [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }] 이면, [eqn: ∠A=90°]」는 피타고

라스 정리이다.

② △[eqn: ABC] 에서 [eqn: { a}^{2 }> { b}^{2 }+ { c}^{2 }] 이면, [eqn: ∠A]>90°이다.

③ △[eqn: ABC] 의 세변은  [eqn: a<b+c], [eqn: b<a+c], [eqn: c<b+a] 인

관계가  있다.

④ 「△[eqn: ABC] 에서 [eqn: ∠A=90°]이면, [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }]」은 피타고

라스 정리이다.

⑤ △[eqn: ABC] 에서 [eqn: { a}^{2 }= { b}^{2 }+ { c}^{2 }] 이면 변 [eqn: a]가 빗변이다.

13. 세 변의 길이가 [eqn: 2m], [eqn: { m}^{2 } -1], [eqn: { m}^{2 }+1] 인 직각삼각형에서 빗변      이 17[eqn: cm]일 때, 나머지 직각을 낀 두 변의 길이 중 작은 변의 길      이는?  (단, [eqn: m>1] )

14. 다음 그림에서 [eqn: AB>AC] 이고 [eqn: AD⊥BC] 일 때,

[eqn: { BD}^{2 }- { DC}^{ 2}] 과 같은 것은?

① [eqn: AC-AB]

② [eqn: AB-AC]

③[eqn: { AC}^{2 }- { AB}^{2 }]

④[eqn: { AB}^{2 }- { AC}^{2 }]

⑤ [eqn: AB+AC]

15. 두 정사각형의 넓이가 12[eqn: { cm}^{2 }], 13[eqn: { cm}^{2 }] 일 때, 두 정사각형의 넓      이의 합과 정사각형의 둘레는?

16. 다음 그림은 [eqn: ∠A=90°]인 직각삼

각형 [eqn: ABC] 의 변 [eqn: AB, AC]  위에

각각 점 [eqn: D, E] 를 잡은 것이다.

[eqn: BE=10cm], [eqn: CD=8cm]

[eqn: BC=12cm] 일 때, [eqn: DE] 의 길이는?

17. 한 변의 길이가 [eqn: 4cm] 인 정사각형에 내접하는 가장 작은 정사각형      의 넓이는?

18. 다음 그림과 같이 한변이 [eqn: 8cm] 인

정사각형에서 [eqn: A] 점이 [eqn: BC] 의 중점

[eqn: M] 에 접했을 때, [eqn: MN] 의 길이를

구하시오.

19. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: P] (0, a), [eqn: Q] (0, b)일 때, [eqn: P, Q] 사이의 거리      를 나타낸 것은?

① | [eqn: a+b] |             ② | [eqn: a-b] |

③ [eqn: { a+b} over {2 }]              ④ [eqn: SQRT { {a }^{2 }+ { b}^{2 } }]

⑤ [eqn: { a}^{2 }+ { b}^{2 }]

20. 세 점 [eqn: A] (4, 7), [eqn: B] (2, 4), [eqn: C] (8, 0)를 꼭지점으로 하는 삼각형        은?

[ 21 ～ 22 ] 다음 그림은 한 변의 길

이가 [eqn: 10cm] 인 정육면체를 나타낸

것이다.

21. 세 꼭지점 [eqn: A,C,E] 를 지나는

평면을 자를 때, 생기는 단면의

넓이는?

22. 빗삼각뿔 [eqn: B-ACF] 의 부피는?

23. [eqn: y=-2x+3] 과 [eqn: y= { x}^{2 }] 의

교점을 [eqn: P,Q] 라 할 때,

[eqn: PQ] 의 길이는?

24. 밑면은 한변이 [eqn: 12cm] 인 정사각형

이고, 옆면의 모서리는 [eqn: 18cm] 인 정

사각뿔에서 높이 [eqn: VO] 의 길이를

구하시오.

25. 반지름이 [eqn: 13cm]인 구를 중심에서 [eqn: 5cm]인 거리에 있는 평면으로        자른 단면은 작은 원이 된다. 이 작은 원의 반지름은?

26. 한 변의 길이가 [eqn: 4cm] 인 정육면체

를 한 평면으로 그림과 같이 잘랐을

때, △[eqn: AFH] 의 넓이는?

[ 27 ～28 ] 다음 그림을 보고 물음에 답하시오.

27. 선분 [eqn: AB] 의 기울기는?

28. 선분 [eqn: AB] 의 길이는?

D

29. 다음 그림에서 사각형 [eqn: ABCD] 가

정사각형일 때, [eqn: △DEF] 의 넓이를

구하시오.

30. 가로, 세로, 높이가 8[eqn: cm], 8[eqn: cm], 6[eqn: cm] 인 그림과 같은 직육면체에      서 빗금 친 삼각형은 어떤 삼각형인가?

31. 다음 중 [eqn: m, n] (단, [eqn: m >n>0] )에 대하여 직각삼각형의

세 변의 길이가 될 수 없는 것은?

① [eqn: 5n,]  [eqn: 12n,]  [eqn: 13n]

②[eqn: { m}^{2 }-1,]  [eqn: 2m,]  [eqn: { m}^{2 }+1]

③[eqn: { m}^{2 }- { n}^{2 }],  [eqn: 2mn] ,  [eqn: { m}^{2 }+ { n}^{2 }]

④ [eqn: 3m+4n,]  [eqn: 4m+3n], [eqn: 5m+5n]

⑤ [eqn: 3m,]  [eqn: 4m,]  [eqn: 5m]

32. 다음 그림과 같이 직사각형

[eqn: ABCD] 에서 [eqn: △BCD] 를

대각선[eqn: BD] 로 접었을 때,

선분 [eqn: AE] 의 길이를

구하시오.

33. [eqn: a] < 0 일 때, 원점에서 점 [eqn: P] ([eqn: a,][eqn: a] ) 까지의 거리는?

34. 이차함수 [eqn: y= { x}^{2 }-1] 과 직선 [eqn: y=3] 의 두 그래프의 교점을

[eqn: A,B] 라 할 때, [eqn: AB] 의 길이를 구하시오.

35. 밑면에 반지름이 [eqn: 3cm] , 높이가 [eqn: 6cm] 인 원기둥에서 다음

그림과 같이 점 [eqn: P] 에서 표면을

따라 점 [eqn: Q] 까지 갈 때의

최단거리를 구하면?

제 4회

탐구학습

	학습의 포인트가 되는 교과서의 핵심을 정리,기본원리를 파악해 둡시다.

한일고	한일학습프로그램	창조적 사고, 적극적 행동	출제진도범위
	수 학	2004 신입생 선수 학습	▷도형의 성질 ▷도형의 닮음

1

□ 원의 성질

1. 원과 직선

(1) 호와 현

1) 중심각과 호, 중심각에 대한 성질

한 원 또는 합동인 두 원에서 같은 크기의 중심각에 대한 호의       길이와 현의 길이는 각각 같다.

2) 현의 수직이등분선에 대한 성질

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다.

3) 원의 중심과 현의 길이에 대한 성질

한 원 또는 합동인 두 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 현      의 길이는 같다.

B'

1)

3)

2)

A

B

O

O

O

A

B

M

A

D

B

C

M

N

A'

(2)원의 접선

1)원과 직선의 위치관계

반지름의 길이가 [eqn: r]인 원의 중심 [eqn: O]에서 직선 [eqn: l] 에 이르는 거리를     [eqn: d] 라 할 때

접점

접선

할선

[I]이 원과 두 점에서 만나면, [eqn: d<r]

[II][eqn: l]이 원과 접하면, [eqn: d=r]

[III][eqn: l]이 원과 만나지 않으면, [eqn: d>r]

2)원과 접선의 성질

O

l

T

원의 접선은 그 접점과 원의 중심을

연결한 선분에 수직이다.

P

T

O

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두

접선의 길이는 같다.

[eqn: bar PT = bar {PT {} prime}]

[eqn: T′]

3)삼각형의 외심에 대한 성질

삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점에서 세     꼭지점에 이르는  거리는 같다.

4)삼각형의 내심에 대한 성질

삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점에서 세 변     에 이르는 거리는 같다.

【 삼각형의 오심 】

i)외심 : 외접원의 중심

ii)내심 : 내접원의 중심

iii)방심 : 방접원의 중심(삼각형의 한 내각의 이등분선과 나머지  두

각의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다.

이 점을 삼각형의 방심이라 한다.)

iv)수심 : 삼각형의 각 꼭지점에서 대변에 내린 세 수선은 한 점에

서 만난다.  이 점을 삼각형의 수심이라 한다.

v)무게중심 : 삼각형의 세 중선(꼭지점과 대변의 중점을 연결한 선분)

은 한 점에서 만난다.

이점을 삼각형의 무게중심이라 한다.

(3)두 원

1)공통현과 중심선에 대한 성질

두 원이 만날 때, 두 원의 공통현은 중심선에 의하여 수직이등

분 된다.

2)접하는 두 원에 대한 성질

두 원이 접할 때, 그 접점은 두 원의 중심선 위에 있다.

3)두 원의 위치 관계

두 개의 원 [eqn: O, O ']의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r,r'{}{} (r>r')], 중심

거리를 [eqn: d] 라 할 때, 두 원의 위치관계는 다음과 같이 나눌 수

있다.

〔Ⅰ〕[eqn: d>r+ r prime ~](떨어져 있다.)   〔Ⅱ〕[eqn: d=r+ r prime ~](외접한다.)

[eqn: O prime]

O

d

d

[eqn: O prime]

O

[eqn: d]

〔Ⅲ〕[eqn: r- r prime <d<r+ r prime ~] 〔Ⅳ〕[eqn: d=r- r prime]   〔Ⅴ〕[eqn: d<r- r prime]

(만난다.)          (내접한다.)       (내부에 있다.)

ꊲ원주각

(1)원주각

A

B

P

O

1)원주각과 중심각의 크기에 대한 성질

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기

는 그 호에 대한 중심각의 크기의 반과

같다.

[eqn: angle APB = 1 over 2 angle AOB]

2)내접사각형의 대각에 대한 성질

원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 [eqn: 180 DEG]

이다.

★ 인간에게 하나의 입과 두 개의 귀가 달려 있는 것은

말하기보다 듣기를 두배로 하라는 것이다.

(2)접선의 성질

B

A

1)현과 접선이 이루는 각의 크기

원의 현과 그 한 끝점에서의 원의 접선이

이루는 각의 크기는 이 각의 내부 쪽에

C

T

있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

[eqn: angle BCT = angle BAC]

2)사각형이 원에 내접하기 위한 조건

사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합이 [eqn: 180DEG]이면 그 사각형은

원에 내접한다.

3)공통외접선과 공통내접선

¤ 공통외접선                     ¤ 공통내접선

O

o'

d

ㅣ

o

o'

ㅣ

ㅣ

r

r'

r

r'

[eqn: l= SQRT { d^2 -(r-r prime )^2 }]                  [eqn: l= SQRT { d^2 -(r+r prime )^2 }]

ꊳ원과 비례

(1)원에서의 비례관계

원의 두 현 [eqn: bar AB , bar CD] 또는 이들의 연장선이 점 [eqn: P]에서 만나면, [eqn: bar PA CDOT bar PB = bar PC cdot bar PD]이다.

[증명] [eqn: triangle PAC]와 [eqn: triangle PDB]에서

[eqn: angle PAC=anglePDB( BECAUSE 내접사각형)]

P

A

B

C

D

[eqn: angle P는 {} 공통{}{} THEREFORE {}{}triangle PAC``∽ `trianglePDB]

[eqn: bar PA : bar PC = bar PD :bar PB]

[eqn: therefore bar PA CDOT bar PB = bar PC cdot bar PD]

(2) 원의 접선과 내접삼각형

원의 외부의 점 P에서 원에 할선 PAB와 접선 PTF를 그으면,

[eqn: bar PT ^2 = bar PA cdot bar PB]

[증명] [eqn: triangle PAT]와 [eqn: triangle PTB]에서

A

B

P

T

[eqn: angle PTA=anglePBT]

[eqn: angle P는 {} 공통{}{} THEREFORE {}{}triangle PAT``∽` trianglePTB]

[eqn: bar PA : bar PT = bar PT :bar PB]

[eqn: therefore bar PT ^2 = bar PA cdot bar PB]

(3)현(할선)의 길이와 반지름

1)[eqn: bar PA cdot bar PB =r^2 - bar OP^2]         2)[eqn: bar PA cdot bar PB = bar OP ^2 - r^2]

[eqn: r]

O

A

B

P

A

B

O

P

[eqn: r]

(4)비례의 활용

P

A

C

T

D

B

1)공통접선의 이용

[eqn: bar PA cdot bar PB = bar PC cdot bar PD]

2)원주각의 이용

[eqn: bar AM ^2 = bar MC cdot bar MD]

A

B

C

D

M

B

D

C

A

M

( 호AM = 호BM )

◎ 토레미의 정리

사각형 [eqn: ABCD]가 원에[eqn: ABCD] 내접하면

[eqn: BAR AD cdot bar BC + bar AB cdot bar CD = bar AC cdot bar BD]

역으로, 사각형에서 [eqn: BAR AD cdot bar BC + bar AB cdot bar CD = bar AC cdot bar BD] 이면

그 사각형의 각 꼭지점을 지나는 원이 존재한다.

[증명] 오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는     사각형 [eqn: ABCD]에서 대각선 [eqn: bar AC , bar BD]

A

B

C

D

E

를 긋고 [eqn: angle ABD = angle EBC]가 되는

점[eqn: E] 를 [eqn: bar AC] 위에 잡으면 [eqn: AB]에

대한  원주각으로[eqn: angle ADB = angle ACB]

이므로 [eqn: triangle ABD``∽ triangle EBC]

[eqn: therefore bar AD : bar CE = bar BD : bar BC]  … ①

또, [eqn: triangle ABE]와 [eqn: triangle DBC]에서 [eqn: BC]에 대한 원주각

으로 [eqn: angle BAC = angle BDC], [eqn: angle ABD = angle EBC] 이므로

[eqn: angle ABE = angle DBC]   [eqn: therefore triangle ABE``∽ triangle DBC]

[eqn: therefore bar AB : bar BD = bar AE : bar CD]  … ②

① 로부터 [eqn: bar AD cdot bar BC = bar BD cdot bar CE]

② 로부터 [eqn: bar AB cdot bar CD = bar BD cdot bar AE]

이 두 식을 서로 더하면

[eqn: bar AD cdot bar BC + bar AB cdot bar CD = bar BD cdot bar CE + bar BD cdot bar AE]

[eqn: therefore bar AD cdot bar BC + bar AB cdot bar CD = bar BD (bar CE + bar AE) = bar BD cdot bar AC]

(역의 증명은 생략)

2

보충학습

	학습 진전 상황을 주기적으로 점검확인하고 결함 부분을 치료함으로써 학습성과를 높이도록 합시다.

▣ 다음설명 중 (    )속에 알맞은 말을 넣으시오.

1. 합동인 두 원에서, 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다,    즉, [eqn: bar AB = bar A'B']의 증명 (원[eqn: O])[eqn: ==](원 [eqn: O']).

[eqn: bar OM BOT bar AB],[eqn: bar O'M' BOT bar A'B'],[eqn: bar OM = bar O'M']이면

[eqn: triangle AOM]과[eqn: triangle A'O'M']에서

[eqn: bar OA =] ① (          )  ([eqn: because]합동인 원 )

[eqn: A´]

[eqn: B´]

[eqn: M´]

O

A

B

M

[eqn: O´]

[eqn: bar OM = bar O'M']

[eqn: angle AMO = angle A'M'O' =]② (        )

[eqn: therefore triangle AOM ~]③ (        ) [eqn: triangle A'O'M']

[eqn: therefore bar AM =bar A'M']

그런데 [eqn: bar AB =] ④ (         )[eqn: cdot bar AM]

[eqn: bar A´B´ =] ⑤ (          )[eqn: cdot bar A´M´]

[eqn: bar AB = bar A'B']이다.

2. 원에 내접하는 내접사각형의 대각의 합은 ⑥ (         )          임을 설명하자.    오른쪽 그림에서

[eqn: b]

A

D

B

C

E

[eqn: a]

[eqn: 2a+2b=360 DEG],

[eqn: a+b=] ⑦ (          )

[eqn: therefore angle BAD + angle BCD =] ⑧ (          )

또, [eqn: angle DCE + angle BCD =] ⑨ (          )

이므로, ⑩ (          )[eqn: = angle DCE]

따라서, 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 [eqn: 180 DEG]이고,

그 사각형의 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.

3. 반지름이 [eqn: 3cm]인 원 [eqn: O]에서 [eqn: angle B=60 DEG], [eqn: bar PA]는 접선일 때,

[eqn: angle BAC =] ⑪ (          ) 이고,

A

P

C

B

O

3

[eqn: 60。]

[eqn: bar AC =] ⑫ (          ) ㎝,

[eqn: angle PAC =] ⑬ (          )

[eqn: bar PC =] ⑭ (          ) ㎝

[eqn: bar PA =] ⑮ (          ) ㎝

가 된다.

4.오른쪽 그림에서 [eqn: bar AT]는 접선 [eqn: angle TBC = 60 DEG],

지름[eqn: bar BC = 10cm] 일 때,

T

B

C

A

10㎝

O

[eqn: 60。]

[eqn: bar TC =] ⓐ (          ) ㎝

[eqn: angle A =] ⓑ (          )

[eqn: bar AB =] ⓒ (          ) ㎝

[eqn: bar AT =] ⓓ (          ) ㎝

빗금 친 부분의 넓이는 ⓔ (          )[eqn: ( pi over 3 - sqrt 3 over 2 )cm^2]가 된다.

5.  반지름이 [eqn: sqrt 3]인 원 [eqn: O]와 다른

한 원 [eqn: O']가 점 [eqn: A]에서 서로 외접

[eqn: 30。]

[eqn: 0^′]

O

[eqn: SQRT { 3}㎝]

B

D

C

하고 있다.

[eqn: {<-> } atop {BC }]는  공통외접선이고, [eqn: bar AD]는

공통내접선이다.

[eqn: angle ABD =30 DEG]일 때,

[eqn: bar AB =] ⓕ (          )

[eqn: angle BAC =] ⓖ (          )

[eqn: bar AC =] ⓗ (          ) ㎝ , [eqn: bar BD =] ⓘ (          ) ㎝

원 [eqn: O']의 반지름은 ⓙ (          ) ㎝ 이다.

♧ 3으로 하는 계산

다음 □속에, ＋, －, ×, ÷의 적당한 기호를

넣어서 등식이 성립되게 하라.

3□3□3□3 = 1

3□3□3□3 = 2

3□3□3□3 = 3

3□3□3□3 = 4

3□3□3□3 = 5

3□3□3□3 = 6

3□3□3□3 = 7

3□3□3□3 = 8

3□3□3□3 = 9

3□3□3□3 = 10

【답】

① [eqn: BAR O´A´]  ② 90。  ③ ≡  ④ 2  ⑤ 2  ⑥ 180。

⑦ 180。    ⑧ 180。   ⑨ 180。    ⑩ [eqn: ANGLE BAD]

⑪  30。   ⑫ [eqn: 3 SQRT { 3}]   ⑬ 60。     ⑭ 9   ⑮ [eqn: 6 SQRT { 3}]

ⓐ [eqn: 5 SQRT { 3}]    ⓑ 30。   ⓒ 5    ⓓ [eqn: 5 SQRT { 3}]    ⓔ [eqn: { 25} over {2 }]

ⓕ [eqn: SQRT { 3}]     ⓖ 90。    ⓗ 1    ⓘ 1      ⓙ [eqn: { SQRT { 3} } over {3 }]

	필수 학습 목표를 기준으로 작성된 문제들로 각종 시험에 대비하여 실전 능력을 배양해 둡시다.

3

심화학습

▣ 다음 각 물음에 답하시오.

O

58°

x

A

B

C

6.[eqn: angle A =58 DEG]이면 [eqn: angle OBC]는 몇 도인가?

7. 오른쪽 그림에서 사각형 [eqn: ABCD]는

A

B

C

D

E

70。

100。

x

y

․O

원 [eqn: O]에 내접하는 사각형이다.

[eqn: angle A =70 DEG], [eqn: angle B =100 DEG],

[eqn: angle DCE =x], [eqn: angle D= y]일 때,

[eqn: x+y]의 값은?

A

O

B

C

D

8cm

2cm

8. 오른쪽 그림에서 [eqn: bar AB]는 반원

[eqn: O]의 지름이고, [eqn: bar BC =2cm],

[eqn: bar AD =8cm]이다.

지름 [eqn: bar AB]의 길이는?

10㎝

A

B

C

D

x

13㎝

12㎝

9. 원에 외접하는 다음 사각형

[eqn: ABCD]에서 [eqn: x]의 길이를 구하면?

A

B

․O

․o'

10. 반지름의 길이가 [eqn: sqrt 2 cm, 2 sqrt 2 cm]

인 두 원 [eqn: O]와 [eqn: O']가 외접해 있다.

이 때, 공통 외접선 [eqn: bar AB]의 길이는?

11.[eqn: bar AB = 9cm], [eqn: bar BC =11cm],[eqn: bar CA =8cm]

A

B

C

인 삼각형 [eqn: ABC]의 각 꼭지점을 중심으

로 하고 서로 외접하는 3개의 원이 있다.

원 [eqn: A]의 반지름의 길이를 구하시오.

A

B

C

D

E

F

12㎝

13㎝

5㎝

12. 오른쪽 그림과 같은 삼각형에서 내접원

의 넓이는?

13. 오른쪽 그림에서 [eqn: bar PA], [eqn: bar PB]는 접선이

P

A

O

B

60。

다. 원 [eqn: O]의 반지름이 [eqn: 6cm]일 때, 빗금

친 부분의 넓이를 구하시오.

14. 두 원 반지름이 [eqn: r,r'][eqn: (r>r')] 중심거리를 [eqn: d]라 할 때, 공통접선을 두 개 가질수 있는 조건은?

A

B

C

O

15. 오른쪽 그림은 삼각형의 오심 중

무엇을 설명하는가?

16. 오른쪽 그림에서 점 [eqn: P]는 원의 두

P

4

A

B

C

D

5

9

[eqn: x]

현 [eqn: bar AB , bar CD]의 교점이다.

[eqn: x]의 값을 구하시오.

17. 한 직선 위에 있지 않은 세 점 [eqn: A,B,C] 를 지나는 원의 중심을

작도하는데 이용되는 성질은?

①원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.

②현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.

③원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이다.

④한 원에서 같은 중심각에 대한 현의 길이는 같다.

⑤세점 [eqn: A,B,C]에서 같은 거리에 있는 점이 이 원의 중심이다.

18. 오른쪽 그림에서 두 원 [eqn: O,O']는

5㎝

[eqn: x]

2

A

O

[eqn: O^′]

외접하고, [eqn: bar O'A]는 원 [eqn: O]의 접선이다.

원[eqn: O']의 반지름은 [eqn: 2cm] 이고

[eqn: bar O'A = 5cm]일 때, 원 [eqn: O]의 반지름을

구하시오.

P

A

B

O

C

10㎝

60。

19. 직선 [eqn: PQ]는 [eqn: A]에서 원 [eqn: O]에 접하고

있다. [eqn: bar OA = 10cm], [eqn: angle BAQ= 60 DEG]일

때, 선분 [eqn: bar PA]의 길이를 구하면?

[eqn: 20DEG]

[eqn: y]

E

A

D

F

B

C

[eqn: x]

[eqn: 30DEG]

20. 오른쪽 그림에서 [eqn: angle E =30DEG],

[eqn: angle F=20DEG]일 때, [eqn: x+y] 의 값을

구하면?

21.오른쪽 그림에서 원 [eqn: O,O']의

[eqn: 0^′]

P

Q

O

10㎝

13㎝

5㎝

공통 외접선의 길이 [eqn: bar PQ]의 값은?

(단 [eqn: bar OP =5cm, bar OO' =13cm,]

[eqn: bar QO' =10cm] )

【22～23】 오른쪽 그림에서 [eqn: VEC AP , &VEC AQ , & VEC BC] 는 접선이고,

[eqn: bar PO =5cm], [eqn: bar AO =13cm]이다.

22.[eqn: bar AQ]의 길이를 구하면?

A

B

P

O

C

Q

R

5㎝

13㎝

23. [eqn: triangle ABC]의 둘레를 구하면?

24. 두 원에서 [eqn: r=7cm], [eqn: r'=6cm], 중심거리 [eqn: d=9cm]일 때, 두 원의     위치관계는?

P

A

C

T

D

B

25. 오른쪽 그림에서 [eqn: bar PA =bar AB =3cm],

[eqn: bar PC =2cm]일 때, [eqn: bar CD]의 길이를 구하

시오. (단 [eqn: PT]는 공통접선이다.)

5㎝

2㎝

O

A

Q

B

[eqn: O~′]

[eqn: 30DEG]

26.원 [eqn: O,O']의 공통 내접선을 [eqn: AB],

[eqn: angle BQO' =30DEG]일 때, [eqn: bar AB]의 길이는?

(단, [eqn: BAR OA =2~ ㎝, & BAR BO′ = 5~ ㎝] )

D

9cm

6cm

A

B

C

O

x

27. 오른쪽 그림에서 [eqn: x]의 길이를 구하면?

28. [eqn: bar AB]는 [eqn: triangle CBD]의 외접원의 접선이다.

A

D

C

B

[eqn: angle ABD =30DEG],[eqn: angle CDB=60DEG]

[eqn: bar DC =10cm]일 때, [eqn: bar AB]의 길이를 구하면?

A

C

B

D

P

Q

T

6㎝

3㎝

4㎝

[eqn: x]

29. 외접하는 두 원의 접점 [eqn: T] 를

지나는 두 직선을 그림과 같이

그어 각 직선과 두 원의 교점을

[eqn: A,B,C,D]라 할 때, [eqn: bar CT]의 길이

를 구하면?

4㎝

B

A

P

C

D

․O

8㎝

13㎝

[eqn: x]

30. 오른쪽 그림에서 직선 [eqn: PB,PD]는

원 [eqn: O]의 할선이고,  [eqn: bar AB =8cm,]

[eqn: bar PA =4cm], [eqn: bar CD =13cm] 이다.

[eqn: bar PC]의 길이 [eqn: x]는?

A

B

D

F

E

․I

a

b

c

x

y

z

31. 오른쪽 그림에서 [eqn: I]는 [eqn: triangle ABC]의

내접원의 중심이고, [eqn: S= 1 over 2 (a+b+c)]라

놓으면 다음 중 값이 다른 하나는?

①[eqn: s-a]  ②[eqn: c-y]

③[eqn: s-b]  ④[eqn: b-z]

C

32. 직각을 낀 두변의 길이가 12cm, 16cm인 직각삼각형의 외접원의

반지름의 길이를 구하시오.

33. 반지름의 길이가 각각 4cm, 3cm, 인 두 원이 두 점에서 만날 때, 그 중심거리가 5cm 라고 한다. 두 원의 공통현의 길이를 구하시오.

14㎝

5㎝

3㎝

O

[eqn: O′]

34. 두 원의 반지름의 길이가 각각

5cm, 3cm인 원 [eqn: O,O']에서 그 중심

거리가 14cm 일 때, 두 원의 공통

외접선의 길이는?

35. 오른쪽 그림에서 [eqn: AM = BM] 이고,

A

B

C

D

M

[eqn: M]을 지나는 임의의 직선이 현 [eqn: bar AB]

의 연장선과 [eqn: C]에서, 원과는 [eqn: D]에서

만날 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

①[eqn: angle MAC=angle ADM]

②[eqn: bar AM^2 = bar MC cdot bar MD]

③[eqn: bar AM]은 세 점 [eqn: A,C,D]를 지나는 원에 접한다.

④[eqn: bar MD]는 세 점 [eqn: A,B,D]를 지나는 원에 접한다.

A

D

C

B

P

36. 오른쪽 그림에서 원의 호 [eqn: AC]와

호 [eqn: BD]의 합이 원둘레의 [eqn: 1 over 3]일 때,

[eqn: angle APC]는 몇 도인지 구하시오.

37. 오른쪽 그림에서 [eqn: bar PT]가 접선일 때,

P

T

B

A

5㎝

4㎝

[eqn: bar BT over bar AT]의 값을 구하시오.

38. 오른쪽 그림에서 [eqn: O]는 원의 중심

6cm

4cm

A

O

C

P

이고 [eqn: bar PA]는 접선일 때, 원의 반지름

의 길이를 구하시오.

탐구학습

1

한일고	한일학습프로그램	창조적 사고, 적극적 행동	출제진도범위
	수 학	2004 신입생 선수 학습	삼각비

	학습의 포인트가 되는 교과서의 핵심을 정리,기본원리를 파악해 둡시다.

Ⅰ. 삼각비

ꊱ 삼각비

(1) 삼각비의 뜻

[eqn: angleC]가 직각인 삼각형[eqn: rmABC]에서

[eqn: sin rmA``=`` 높이over빗변]

[eqn: cos rmA``=`` 밑변over빗변]

[eqn: tan rmA``=`` 높이over밑변]

(2) 특수각의 삼각비

삼각비	0o	30o	45o	60o	90o
sin	0	[eqn: 1over2]	[eqn: {`1}over root2]	[eqn: root3 over2]	1
cos	1	[eqn: root3 over2]	[eqn: {`1}over root2]	[eqn: 1over2]	0
tan	0	[eqn: {`1}over root3]	[eqn: 1]	[eqn: root3]

(3) 삼각비의 공식

1) 여각 관계

∘[eqn: sin alpha ```= cos(``90^o -alpha`)`] ∘[eqn: cos alpha ```= sin(``90^o -alpha`)`]

∘[eqn: tan `alpha ```=` 1over{tan(``90^o -alpha`)`}`]

2) 보각 관계

∘[eqn: sin(``180^o -alpha`)`=`sin alpha]∘[eqn: cos(``180^o -alpha`)`=`-cos` alpha]

∘[eqn: tan(``180^o -alpha`)`=`-tan` alpha]

3) 제곱 관계

∘[eqn: sin^2 alpha ~+~cos^2`alpha~=~1`]

(4) 삼각형의 변의 길이와 넓이

1) 삼각형의 넓이

① 예각 삼각형의 경우           ② 둔각 삼각형의 경우

[eqn: S= 1over2 ac ``sinB]                [eqn: S= 1over2 ac ``sin(`180^o -B`)]

제5회

2) 삼각형의 변의 길이

① 예각 삼각형의 경우           ② 둔각 삼각형의 경우

[eqn: a``=` b` cos`C ``+``c` cos` B`]        [eqn: a``=` b` cos`C ``-``c` cos`(180^o - B`)`]

(5) 삼각함수의 그래프(π=180°)

1) y = sinx 의 곡선

2) y = cosx

3) y = tanx

ꊲ 삼각비의 활용

(1) 직각삼각형의 풀

1)[eqn: sin B ``= b over c =cos A`],[eqn: tan B ``= b over a]이므로

[eqn: b `=c` sin B`= c `cos A`=a`tan`B`]

2)[eqn: cos B ``= a over c =sin A`],[eqn: tan A ``= a over b]이므로,          [eqn: a `=c` sin A`= c `cos B`=b`tan`A`]이다.

3)[eqn: sin B ``= b over c =cos A`],[eqn: cos B ``= a over c =sin A`]이므로,

[eqn: c = b over sinB`= b over cosA`= a over sinA`= a over cosB`]

(2) 도형의 넓이

1) 삼각형의 넓이

△ABC의 높이를 h라 하면,

[eqn: sin B ``= h over c]이므로,

[eqn: h``=`c``sin`B`]이다.

△ABC의 넓이를 S라 하면,

[eqn: s``=`1over2 a`c``sin`B`]이다.

같은 방법으로 구하면,

[eqn: s``=`1over2 a`b``sin`C``=`1over2 b`c``sin`A`]이다.

2) 평행사변형의 넓이

□ABCD 의 높이를 h라 하면,[eqn: sin B ``= h over a]이므로,[eqn: h``=`a``sin`B`]이다.

2

□ABCD의 넓이를 S라고 하면,[eqn: s``=`a`b``sin`B`]이다.

3)일반 사각형의 면적

대각선의 교각을 α라 하면,

sinα=sin(180°-α)이므로

(△ABO)=[eqn: { 1} over {2 }]mx․sinα

α

(△BOC)=[eqn: { 1} over {2 }]nx․sinα

(△COD)=[eqn: { 1} over {2 }]ny․sinα

(△AOD)=[eqn: { 1} over {2 }]my․sinα

사각형 ABCD의 면적 (S)은

S=[eqn: { 1} over {2 }]sinα(mx + nx + ny + my)

=[eqn: { 1} over {2 }]sinα{(m + n)(x + y)}    ∴S=[eqn: { 1} over {2 }]ab․sinα

(3) 삼각형에서의 각

1) 한 변과 양 끝각을 알 때,

[eqn: a over sinA`= y over sinB`= x over sinC`]에서

[eqn: x``=` a``× sinC over sinA`]이고,

[eqn: y``=` a``× sinB over sinA`]이다.

[eqn: ∠A``=`180^o -`(∠B``+∠C`)]

2) 두 변과 끼인각의 크기를 알 때,

[eqn: h``=` c``sinB`,][eqn: bar{CH```}``=` a`-c `cosB`]에서,

[eqn: bar{AC```}`^2``=` (c sinB``)^2 +(a``-`c`cosB``)^2]

[eqn: =` c^2 sin^2 B`+a^2 -2accosB`+c^2 cos^2 B`]

[eqn: =` c^2 (sin^2 B`+cos^2 B)+a^2 -2accosB`]

[eqn: =` a^2 `+`c^2 `-`2ac`cosB`]

(3) 기타의 응용

1) 높이 재기

[eqn: x``=` y``tanb`,][eqn: x``=`(k+y`)``tana`]

에서[eqn: x`,``y`]의 값을 구한다. 따라서,

[eqn: x``=` `{k`․tana․tanb}over{tanb`-`tana}]

[eqn: y``=` `{k`․tana}over{tanb`-`tana}]

2)힘에의 활용

α의 경사를 이룬 비탈에 W의

무게를 가진 물체를 놓았을 때,

▷비탈을 누르는 힘 : F =Wcosα

▷비탈을 내려오는 힘 : P =Wsinα

α

`	학습 진전 상황을 주기적으로 점검확인하고 결함 부분을 치료함으로써 학습성과를 높이도록 합시다.

보충학습

▣ 다음 설명 중 (   )속에 알맞는 말을 넣으시오.

ꊱ 특수각의 삼각비

▷[eqn: tan 45^o ․cos60^o +sin 60^o ․cos30^o =] (  ①  )

▷[eqn: sin 60^o ․cos30^o +cos 60^o ․sin30^o =] (  ②  )

▷[eqn: (sin 60^o -tan60^o ․cos 60^o )×tan30^o ÷sin45^o =] (  ③  )

▷[eqn: {cos 30^o -sin60^o +tan 60^o}over{sin45^o +cos60^o -tan45^o } `=(~~④~~)(root6 `+root3 `)]

▷[eqn: {root2 (sin 30^o -cos45^o +cos90^o `)}over{tan60^o (cos30^o -tan30^o `)} `=(~~⑤~~)]

ꊲ 삼각비의 응용

▷[eqn: sin30^o +cos x`+tan45^o =2`]에서[eqn: x`=(~~⑥~~)]이다.

▷[eqn: 2x^2 -2ax`+1=`0`]의 한 근이[eqn: sin^2 ``45^o `+cos^2 ``45^o `]일 때, 다른 한 근은 (  ⑦  )이다.

▷[eqn: 10(sin^2 A +cos^2 A +tan^2 A )= a over {cos^2 A}]에서[eqn: a`=(~~⑧~~)]이다.

▷[eqn: (sin70^o +cos70^o `)^2 +(sin20^o -cos20^o `)^2 =(~~⑨~~)`]

▷[eqn: (cosA`+sinA․tanA``)․cosA=](    ) (단,[eqn: 0^o ＜`A``＜90^o])

ꊳ 삼각비의 공식

▷[eqn: sin^2 A `+ left{ sin(90^o -A) `right}^2 =](    )

▷[eqn: left( sin A `․ 1over tanA right)^2 -1 `+`sin^2 A`=](    )

▷[eqn: 3(sin A `+ cosA)^2 -6cos^2 `A․tanA`=](    )

▷[eqn: tan^2 A․cos^2 A`+left{sin(90^o -A) right}^2 =](    )

▷[eqn: root{(sinA`+1)^2``}+root{(sinA`-1)^2``}=](    ) (단,[eqn: 0^o ＜`A``＜90^o])

높이 재기

두 지점 A, B에서 정 동쪽으로 보이는 산꼭대기 P를 올려 본 각이 각각 30°,45°였다.

(단, AB=200m,  눈의 높이는 생각하지 않는다.)

▷PQ를 x 라 하면

AQ= 200+(  ⑯  )

▷tan30°=[eqn: { PQ} over { AQ }]=[eqn: { x} over {(⑰ ) }]

=[eqn: { (⑱)} over {3 }]

▷산의 높이는 x = (  ⑲ )([eqn: SQRT { 3}] + 1)

삼각형의면적

오른쪽 그림에서 ∠B=30°, ∠C=45°

AH⊥BC, BC=10cm 이다.

▷AH = x 라 하면, HC = ( ⑳ )

BH = (   )

▷AH : BH = 1 :[eqn: SQRT { 3}]

∴x : (   ) = 1 :[eqn: SQRT { 3}]

▷위에서 x=(  )×[eqn:  { 1 } over { SQRT { 3} +1 }]

=(  )([eqn: SQRT { 3} -1])

▷△ABC의 면적은[eqn: { 1} over {2 }]×BC×AH=(  )([eqn: SQRT { 3} -1])cm²

【답】

①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨
[eqn: 5over4]	１	０	２	[eqn: root2 -2]	[eqn: 60^o]	[eqn: 1over2]	10	2	1
					⑯	⑰	⑱	⑲	⑳
1	0	3	1	2	x	200+x	[eqn: SQRT { 3}]	100	x
10-x	10-x	10	5	25

심화학습

3

	필수 학습 목표를 기준으로 작성된 문제들로 각종 시험에 대비하여 실전 능력을 배양해 둡시다.

6. x = sin30°, y = sin60°일 때, ( x - y)²+ 2xy 의 값을 구하시오.

7. cos( 2x-10°)= tan45°일 때, x의 크기를 구하시오.

(단,0°< x < 90°)

8. 다음은 y=cosx , y=tanx 의 그래프이다.

바르게 나타낸 것은? (단, 0°≤ x ≤ 90°)

①                              ②

③                             ④

9. sinx + cosx =[eqn: SQRT { 3}] 일 때, sinx․cosx 의 값을 구하시오.

10. sinAcosA=[eqn: { 1} over {3 }] 일 때, (sinA + cosA)²의 값은?

11.오른쪽 그림에서 △ABC는 ∠C=90°인

직각삼각형이다. AC=BC=5 일 때.

sinA + cosA 의 값은?

12. 다음 중에서 1-2sin²x 와 값이 같은 것은?

① 1 + 2cos²x         ② 1 + 2sin²x

③ 1 - 2cos²x         ④ 2cos²x - 1

⑤ 1 - 2cos²x

13. [eqn: { sinA} over {1+cosA }+ { 1+cosA} over {sinA } - { 2} over {sinA }] 를 간단히 하면?

14. 오른쪽 그림에서 AD⊥BC,

AB=20cm, sinB=[eqn: { 3} over {5 }], sinC=[eqn: { 12} over {13 }]

일 때, △ABC의 넓이를 구하면?

15. sinx : cosx = 4 : 3 일 때, sinx 의 값을 구하시오.

(단, 0°< x < 90°)

16. 수평면과 30°의 기울기를

가진 빗면에 10kg 의 물체를

놓았을 때, 빗면에 수직으로

누를 힘은 몇 kg 인가?

[17～18] 오른쪽 그림과 같이 원뿔의

모선의 길이가 8cm 이고, 모선이

밑면의 반지름과 이루는 각이 60°

이다.

17. 밑면의 반지름의 길이는?

18. 원뿔의 체적을 구하시오.

19. 오른쪽 그림의 마름모

ABCD에서 대각선

AC의 길이를 구하면?

(단, sin25°=0.42

cos25°=0.91

tan25°=0.47 )

20.오른쪽 그림에서 tanA=[eqn: { CD} over {□ }]

이다.  □ 속에 알맞은 것은?

21. 산의 높이 PQ를 알기 위하여

그림과  같이 A, B 사이의

거리와 ∠PAQ, ∠PBQ를

측정하였다.

AB=100m, tan(∠PAQ)=a,

tan(∠PBQ)=b 라 하고 산의

높이를 a, b 로 표시하면?

22. 오른쪽 그림에서 ∠CAH = x

이고, ∠BAH = y 이고, AB = 5,

BC = 13 일 때,

sinx + cosy 의 값은?

23. 오른쪽 그림에서

cosx =[eqn: { 12} over {13 }] 일 때, △ABC 의 면적을

구하시오.

24.  오른쪽 평행사변형 ABCD의

면적은?

25. 오른쪽 △ABC에서 ∠ACB=135°

이다. △ ABC 의 면적은?

26. 오른쪽 그림에서 BC의 길이를 구하시오.

(단, [eqn: SQRT { 3}] = 1.7, [eqn: SQRT { 2}] = 1.4 )

27. 오른쪽 그림에서 ∠ACD = 30°

∠ABC = 15°,BC = 10cm 일 때,

AD의 길이를 구하면?

28. 오른쪽 그림의 부채꼴에서

빗금친 부문의 면적을

구하면?

29. 오른쪽 그림과 같이 한 변의

길이가 a 인 정삼각형에 내접

하는 정사각형의  한변의

길이를 구하면?

30. 그림에서 길이 x를 구하시오

(O는 원의 중심, PT 는 접선,

PB=6cm, ∠APT = 60°)

31. △ABC에서 ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3 일 때,

BC : CA : AB 의 비를 구하면?

32. A 지점에서 산의 높이가 300m 인 어느 산의 꼭대기를 올려다 본 각의 크기가 30°이었다. 눈의 높이를 무시하였을 때, A지점에서 산 꼭대기 까지의 직선 거리를 구하시오.

33. 오른쪽 그림에서 점 E는     평행사변형  ABCD의 변     BC의 중점일 때, △ADE

의 면적을 구하시오.

【정답】

번호	정답	번호	정답	번호	정답	번호	정답	번호	정답
1회-9	[eqn: 2 SQRT { 3}]	42	(x+2y)(x²-2xy+4y²)	7	②	10	4	10	[eqn: { 5} over {3 }]
10	-7	43	-7	8	예각삼각형	11	3	11	[eqn: SQRT { 2}]
11	①	44	-18	9	13cm	12	4π	12	④
12	[eqn: SQRT { 3} - SQRT { 2}]	45	(x+2y-1)(x+y+2)	10	5	13	24π	13	0
13	[eqn: { 1} over {2 }]	46	[eqn: 4 SQRT { 3}]	11	②	14	r-r'<d<r+r'	14	126
14	③	2회-6	126	12	①	15	방심	15	[eqn: { 4} over {5 }]
15	-7	7	2	13	8cm	16	[eqn: { 45} over {4 }]	16	[eqn: 5 SQRT { 3}]
16	1	8	a=-3, b=1	14	④	17	②	17	4
17	12a	9	a<-12	15	20cm	18	[eqn: { 21} over {4 }]	18	[eqn: { 64 SQRT { 3} } over { 3} π]
18	④	10	①, ③	16	[eqn: 2 SQRT { 5}]cm	19	[eqn: 10 SQRT { 3}]	19	4.7
19	3	11	10	17	8cm²	20	160°	20	선분BD
20	④	12	5	18	5	21	12	21	[eqn: { 100ab} over {b-a }]
21	80	13	①	19	②	22	12	22	[eqn: { 24} over {13 }]
22	-2	14	-1	20	직각삼각형	23	24	23	35
23	4	15	제 3사분면	21	[eqn: 50 SQRT { 3}]cm²	24	두점에서 만난다.	24	[eqn: 416 SQRT { 3}]
24	34	16	a=3	22	[eqn: { 500} over {3 }]cm³	25	7	25	[eqn: 4( SQRT { 3}+1)]
25	3	17	-8	23	[eqn: 4 SQRT { 5}]	26	[eqn: 7 SQRT { 3}]	26	135
26	(a+1)(2a-3)	18	④, ⑤	24	[eqn: 6 SQRT { 7}]	27	6.5	27	5
27	④	19	생략	25	12	28	[eqn: 5 SQRT { 3}]	28	48π-36[eqn: SQRT { 3}]
28	③	20	④	26	8[eqn: SQRT { 3}]	29	8	29	(2[eqn: SQRT { 3}]-3)a
29	③	21	(-3,[eqn: - { 3} over {2 }])	27	[eqn: { 5} over {12 }]	30	3	30	3[eqn: SQRT { 3}]
30	18	22	y=x²+x-1	28	13	31	③	31	1 :[eqn: SQRT { 3}] : 2
31	2a	23	①	29	[eqn: { 8} over {3 }]	32	10	32	600
32	-8	24	y=x²-4x+7	30	둔각삼각형	33	4.8	33	12
33	②	25	2	31	④	34	8[eqn: SQRT { 3}]
34	④	26	(3, 2)	32	6	35	④
35	25	27	a=6, b=-24	33	-[eqn: SQRT { 2}]a	36	60°
36	(x-1)(x+y-1)	28	3	34	4	37	[eqn: { 3} over {2 }]
37	x(x+7)	29	48	35	[eqn: 3 SQRT { { π}^{2 }+4 }]	38	[eqn: { 5} over {2 }]
38	(a-1)(b-1)	30	②	4회-6	32°	5회-6	1
39	a<0, b<0	31	-3	7	150°	7	5°
40	②	32	2	8	8	8	①
41	351	3회-6	4[eqn: SQRT { 3}]	9	15	9	1